រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា

ក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula) ជារូបមន្តសំរាប់រកក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណមួយចំនួន​ ដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុង និង មុំមួយចំនួននៃចតុកោណនោះ។ ក្នុងទំរង់​ទូទៅរបស់វា រូបមន្តនេះអាចរកក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។

ទំរង់គ្រឹះ

ទំរង់គ្រឹះ​និងងាយចង់ចាំរបស់វាគឺថា រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា​អាចអោយយើង​កំនត់បាននូវ​ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់​ដែលជ្រុងមានរង្វាស់ជ្រុង a b c និង d ។ ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណនេះកំនត់ដោយៈ

${\displaystyle \color {RoyalBlue}S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

ដែល p គឺជាកន្លះបរិមាត្រនៃចតុកោណ កំនត់ដោយ

${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$

រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តហេរុងចំពោះក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ ។ នៅពេលដែល d = 0 គេបានរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាក្លាយជារូបមន្តហេរុង។

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់​គឺអាចមានតំលៃអតិបរមា​ចំពោះចតុកោណមួយចំនួនដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងរបស់វា។

ករណីពិសេស

• ចំពោះការ៉េ : ${\displaystyle b=c=d=a,\quad p=2a\qquad {\color {Blue}\Rightarrow }\quad S={\sqrt {a^{4}}}=a^{2}\,}$
• ចំពោះចតុកោណកែង : ${\displaystyle a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)\qquad {\color {Blue}\Rightarrow }\quad S={\sqrt {L^{2}\cdot l^{2}}}=L\cdot l\,}$

បំណកស្រាយរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា

ដ្យាក្រាមជាសំអាង

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ = ក្រលាផ្ទៃនៃ ${\displaystyle \triangle ADB}$ + ក្រលាផ្ទៃនៃ ${\displaystyle \triangle BDC}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C}$

ប៉ុន្តែដោយសារ ${\displaystyle ABCD}$ ជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន ${\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB}$ ហេតុនេះ ${\displaystyle \sin A=\sin C}$ ដូច្នេះ

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A}$

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}}$

${\displaystyle 4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}\,}$

${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-cos^{2}A(ab+cd)^{2}\,}$

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះ ${\displaystyle \triangle ADB}$ និង ${\displaystyle \triangle BDC}$ រួចសរសេរសមីការជាកន្សោមចំពោះជ្រុង ${\displaystyle DB\,}$ យើងបាន

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C\,}$

ដោយជំនួស ${\displaystyle \cos C=-\cos A\,}$ (ពីព្រោះមុំ ${\displaystyle A}$ និង មុំ ${\displaystyle C}$ ជាមុំបំពេញគ្នា) រួចផ្តុំវាឡើង យើងបាន

${\displaystyle 2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\,}$

ជំនួសវាក្នុងសមីការក្រលាផ្ទៃ យើងបាន

${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle 16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\,}$

តាមរូបមន្ត ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,}$ គេបាន

${\displaystyle (2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\,}$

${\displaystyle =((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})\,}$

${\displaystyle =(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)\,}$

តាង ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$ (ជាកន្លះបរិមាត្រនៃចតុកោណ ABCD) យើងបាន

${\displaystyle 16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\,}$

ដោយបំបាត់ការ៉េ ដោយបំពាក់រឹសការ៉េ យើងបានរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាដូចខាងក្រោម

${\displaystyle \color {magenta}S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាចំពោះចតុកោណមិនចារឹកក្នុងរង្វង់

ក្នុងករណីចតុកោណមិនចារឹក្នុងរង្វង់ទេ រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាអាចត្រូវបានបន្លាយ​ដោយវាស់មុំឈមគ្នាពីរនៃចតុកោណ៖

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}$

ដែល ${\displaystyle \theta \,}$ ជាកន្លះផលបូកនៃមុំឈមទាំងពីរ។ (គូនៃមុំគឺមិនទាក់ទងគ្នាទេ ប្រសិនបើមុំពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានយក ហើយកន្លះផលបូករបស់វាជាមុំបំពេញនៃ ${\displaystyle \theta \,}$ ។ ពីព្រោះ ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta \,}$ គេបាន ${\displaystyle \cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta \,}$

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេស្គាល់ជាទូទៅថាជារូបមន្តប្រេតស៍ឆ្នេឌើ (Bretschneider's formula) ដោយយោងតាមគេហទំព័រ_MathWorld រូបមន្តប្រេតស៍ឆ្នេឌឺត្រូវបានគេសរសេរជា

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+mn)(ac+bd-mn)}}\,}$

ដែល m និង n ជារង្វាស់អង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណ។

វាជាលក្ខណៈនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ (និងទីបំផុតជាមុំចារឹកក្នុងរង្វង់) ដែលផលបូកមុំឈមនៃចតុកោណស្មើនឹង ១៨០° ។ ហេតុដូចនេះ ក្នុងករណីចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ${\displaystyle \theta =90^{\circ }\,}$ ដូចនេះ

${\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0\,}$

ផ្តល់នូវទំរង់គ្រឹះនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា។

ទ្រឹស្តីបទពាក់ព័ន្ធ

ក្នុងករណីដែល d = 0 រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាក្លាយជារូបមន្តហេរុង ដែលជារូបមន្តសំរាប់គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ។

ទំនាក់ទំនងរវាងទំរង់ទូទៅ និង ទំរង់បន្លាយ​នៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា គឺមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងរបៀបដែល​ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស​បន្លាយជា​ទ្រឹស្តីបទពីតាករ។