រូបមន្តហេរុង

រូបមន្តហេរុង (Heron's formula) ជារូបមន្តសំរាប់រកក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ នៅពេលដែលគេស្គាល់ប្រវែងជ្រុងទាំង៣នៃត្រីកោណនោះ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តហេរុងចែងថាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានជ្រុងរៀងគ្នា a, b និង c គឺកំនត់ដោយរូបមន្ត

${\displaystyle \color {blue}S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}}$

ត្រីកោណដែលមានប្រវែងជ្រុង a b និង c ។

ដែល p ជាប្រវែងកន្លះបរិមាត្រនៃត្រីកោណកំនត់ដោយរូបមន្ត

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ ។

ដោយមិនប្រើអក្សរ p រូបមន្តហេរុងអាចសរសេរ

${\displaystyle S={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\ \over 4}}$

${\displaystyle S={\ {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}\ \over 4}}$

${\displaystyle S={\ {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}\ \over 4}}$

សំរាយបញ្ជាក់

រូបមន្តហេរុងអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស និងការដាក់ជាផលគុណកក្តា។

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានប្រវែងជ្រុងរៀងគ្នា a b c និងមុំឈមនៃជ្រុងនិមួយៗ A B C ហើយនិង h ជាកំពស់គូសពីកំពូល A មកជ្រុង BC។ តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

និងទំនាក់ទំនង

${\displaystyle \sin C={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}}$

នោះគេបានក្រលាផ្ទៃ S នៃត្រីកោណABC ស្មើនឹង

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}ah={\frac {1}{2}}ab\sin C={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {\left(1-{\frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}\right)\left(1+{\frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}}\\\end{aligned}}}$

គេទទួលបាន​រូបមន្ត​ហេរុង​ដោយជំនួស ${\displaystyle \ a=2p-b-c\,}$ គេបាន

${\displaystyle \color {blue}S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}}$

លក្ខណៈទូទៅ

រូបមន្តហេរុងជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula ) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹក្នុងរង្វង់។ រូបមន្តទាំងពីរសុទ្ធជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ។ ក្នុងករណីទាំងពីរនេះ គេទទួលបានរូបមន្តហេរុងដោយកំនត់អោយរង្វាស់ជ្រុងណាមួយនៃចតុកោណស្មើសូន្យ។

រូបមន្តហេរុងក៏ជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណព្នាយផងដែរ។ គេទទួលរូបមន្តហេរុង​ពីករណីដោយកំនត់អោយ​រង្វាស់ជ្រុងស្របដែលខ្លីអោយស្មើសូន្យ។

រូបមន្តហេរុង​សំដែង​ដោយ​ដេទែមីណង់​រឹសការ៉េនៃ​ចំងាយ​រវាង​កំពូល​ដែល​ផ្តល់​អោយ​ទាំងបី​ដូចខាងក្រោម

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}$

រូបមន្តហេរុងចំពោះតេត្រាអែត

បើ ${\displaystyle U,\,V,\,W,\,u,\,v,\,w}$ ជាប្រវែងនៃជ្រុងនៃតេត្រាអែត (បីដំបូង​បង្កើតបានត្រីកោណមួយ ; ${\displaystyle u\,}$ ឈមនឹង ${\displaystyle U\,}$ ហើយ​បង្កើតបានដូចនេះជាបន្តបន្ទាប់.........)

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

ដែល

${\displaystyle V\,}$ ជាមាឌតេត្រាអែត

${\displaystyle a={\sqrt {xYZ}}}$

${\displaystyle b={\sqrt {yZX}}}$

${\displaystyle c={\sqrt {zXY}}}$

${\displaystyle d={\sqrt {xyz}}}$

${\displaystyle X=(w-U+v)\,(U+v+w)}$

${\displaystyle x=(U-v+w)\,(v-w+U)}$

${\displaystyle Y=(u-V+w)\,(V+w+u)}$

${\displaystyle y=(V-w+u)\,(w-u+V)}$

${\displaystyle Z=(v-W+u)\,(W+u+v)}$

${\displaystyle z=(W-u+v)\,(u-v+W)}$