교환법칙

수학에서, 교환 법칙(영어: commutative property)은 이항 연산에서 피연산자의 순서를 바꾸어도 결과가 변하지 않는 성질이다. 교환 법칙이 성립하는 이항 연산을 가환(영어: commutative) 또는 교환 가능하다고 한다. 많은 이항 연산들이 교환 법칙을 만족하며, 많은 수학적 증명이 이 성질에 의존한다. "3 + 4 = 4 + 3" 또는 "2 × 5 = 5 × 2"와 같은 친숙한 산술 연산에 대해서는 이 성질이 성립하며, 더 복잡한 연산에 대해서도 교환 법칙이 성립할 수 있다. 반면 나눗셈이나 뺄셈과 같은 연산들은 교환 법칙이 성립하지 않으며(예: "3 − 5 ≠ 5 − 3"), 이러한 이항 연산을 비가환(영어: noncommutative)이라 한다.

수의 곱셈과 덧셈과 같은 간단한 연산들이 교환 법칙을 만족한다는 사실은 수 세기 동안 당연한 것으로 여겨졌다. 따라서 이 성질은 새로운 대수적 구조들이 연구되기 시작한 19세기 전까지는 명명되지 않았다.^[1]

정의

집합 S 위의 이항 연산 ${\displaystyle *}$이 모든 ${\displaystyle x,y\in S}$에 대하여$${\displaystyle x*y=y*x}$$를 만족하면, 이 연산은 가환(영어: commutative) 또는 교환 가능하다고 한다.^[2] 교환 법칙이 성립하지 않는 연산은 비가환(noncommutative)이라 한다.^[3]

어떤 ${\displaystyle *}$ 연산 하에서$${\displaystyle x*y=y*x}$$가 성립하면, x와 y는 교환 가능하다(영어: commute)고 한다.^[4]

따라서, 모든 두 원소가 서로 교환 가능하면 그 연산은 교환 법칙이 성립한다.^[4] 만약 어떤 두 원소에 대해 ${\displaystyle x*y\neq y*x}$라면 그 연산은 비가환이다. 물론 비가환인 연산에서 일부 원소 쌍끼리는 교환 가능할 수도 있다.^[3]

예

사과의 개수를 합하는 것은 자연수의 덧셈으로 볼 수 있으며, 덧셈은 교환 법칙이 성립한다.

가환 연산

벡터의 덧셈은 교환 법칙이 성립한다. 즉, ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}$이다.

• 대부분의 수 체계에서 덧셈과 곱셈은 교환 법칙이 성립한다. 특히 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 사이의 연산에서 그러하다. 이는 모든 체에서도 참이다.^[5]
• 모든 벡터 공간과 대수에서 덧셈은 교환 법칙이 성립한다.^[6]
• 집합의 합집합과 교집합 연산은 교환 법칙이 성립한다.^[7]
• 논리 연산인 "그리고"(and)와 "또는"(or)은 교환 법칙이 성립한다.^[8]

비가환 연산

• 나눗셈은 비가환이다. (${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$). 뺄셈도 비가환이다. (${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$). 하지만 뺄셈은 더 정확하게는 반교환(anti-commutative)으로 분류되는데, 이는 모든 ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle y}$에 대해 ${\displaystyle x-y=-(y-x)}$이기 때문이다. 거듭제곱은 비가환이다. (${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}$).^[9]
• 일부 진리 함수는 비가환이다. 즉, 피연산자의 순서를 바꾸면 진리표가 달라진다.^[10] 예를 들어, (A ⇒ B) = (¬A ∨ B)와 (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B)의 진리표는 다음과 같다.

A	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

• 함수의 합성은 일반적으로 비가환이다.^[11] 예를 들어, ${\displaystyle f(x)=2x+1}$이고 ${\displaystyle g(x)=3x+7}$이라 하자. 그러면 다음과 같다.

$${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$$ $${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10.}$$

• 주어진 차원의 정사각행렬의 행렬 곱셈은 ${\displaystyle 1\times 1}$ 행렬을 제외하고는 비가환 연산이다. 예를 들어 다음 행렬 곱셈은 값이 다르다^[12]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

• 3차원 공간에서 두 벡터의 벡터곱(또는 외적)은 반교환성을 가진다. 즉, ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {a} =-(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$이다.^[13]

가환 구조

일부 대수적 구조들은 교환 법칙을 요구하지 않는 연산을 포함한다. 만약 특정 구조에서 이 연산이 교환 법칙을 만족하면, 그 구조는 종종 가환이라고 불린다.

• 가환 반군은 연산이 교환 법칙을 만족하는 반군이다.^[14]
• 가환 모노이드는 연산이 교환 법칙을 만족하는 모노이드이다.^[15]
• 가환군 또는 아벨 군은 연산이 교환 법칙을 만족하는 군이다.^[16]
• 가환환은 곱셈이 교환 법칙을 만족하는 환이다. (환에서의 덧셈은 항상 가환이다.)^[17]

그러나 대수(algebras)의 경우, "가환대수"라는 용어는 오직 곱셈이 가환인 결합 대수만을 지칭한다.^[18]

역사와 어원

교환 성질의 암묵적인 사용에 대한 기록은 고대로 거슬러 올라간다. 이집트인들은 곱셈의 교환 성질을 사용하여 곱의 계산을 단순화했다.^[19] 유클리드는 그의 저서 《원론》에서 곱셈의 교환 성질을 가정한 것으로 알려져 있다.^[20] 교환 성질의 형식적인 사용은 수학자들이 함수 이론을 연구하기 시작한 18세기 말과 19세기 초에 나타났다. 오늘날 교환 성질은 수학의 대부분의 분야에서 사용되는 잘 알려진 기본 성질이다.^[2]

이 용어의 최초 사용은 1814년에 출판된 프랑스 저널에서 발견된다.

'가환'(commutative)이라는 용어의 최초 기록은 1814년 프랑수아 세르보아의 회고록에 등장하는데, 그는 현재 교환 성질이라 불리는 성질을 가진 함수들을 설명하면서 'commutatives'라는 단어를 사용했다.^[21] 'Commutative'는 프랑스어 명사 'commutation'과 "교환하다" 또는 "바꾸다"라는 뜻의 동사 'commuter'에서 파생된 형용사 'commutatif'의 여성형이다. 이후 이 용어는 1838년 영어권에 등장했으며, 덩컨 그레고리가 1840년 에든버러 왕립 학회 회보(Transactions of the Royal Society of Edinburgh)에 발표한 "기호 대수의 실제 본질에 관하여"라는 제목의 기사에서도 사용되었다.

같이 보기

• 중심화군과 정규화군
• 가환 그림
• 교환자