갈루아 연결

수학에서, 갈루아 연결(영어: Galois connection)은 두 원순서 집합 사이의 한 쌍의 수반 함자를 뜻한다.

정의

임의의 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim _{X})}$은 범주로 여길 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle (X,\lesssim _{X})}$의 대상은 ${\displaystyle X}$의 원소이며, 사상은 ${\displaystyle x\lesssim _{X}y}$인 순서쌍 ${\displaystyle (x,y)}$이다. 이 경우, 두 원순서 집합 사이의 함자는 증가 함수이다.

두 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim _{X})}$, ${\displaystyle (Y,\lesssim _{Y})}$ 사이의 갈루아 연결은 수반 함자를 이루는 두 함자

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle g\colon Y\to X}$

${\displaystyle f\dashv g}$

를 뜻한다. 사실, 두 함자 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 ${\displaystyle g\colon Y\to X}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{[1]:155, Definition 7.23}

• ${\displaystyle f\dashv g}$
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\lesssim _{X}g(f(x))}$
  • 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f(g(y))\lesssim _{Y}y}$
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$ 및 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f(x)\lesssim _{Y}y\iff x\lesssim _{X}g(y)}$

같이 보기

• 위수
• 이중 잉여류
• 갈루아 확대
• 자기 동형 사상