거듭제곱근

수학에서, 거듭제곱근은 거듭제곱의 역연산이다. 승근(乘根), 누승근(累乘根) 또는 멱근(冪根)이라고도 한다. 구체적으로, 만약 ${\displaystyle x^{n}=a}$이라면, ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱근이라고 한다. ${\displaystyle a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},\dots ,a^{n}\dots }$(${\displaystyle {}=a}$의 제곱, ${\displaystyle a}$의 세제곱, ${\displaystyle a}$의 네제곱, ${\displaystyle a}$의 다섯제곱, ..., ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱, ...)을 통틀어 ${\displaystyle a}$의 거듭제곱이라고 하는 것처럼, ${\displaystyle a}$의 제곱근, ${\displaystyle a}$의 세제곱근, ${\displaystyle a}$의 네제곱근, ${\displaystyle a}$의 다섯제곱근, ... ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱근, ...을 통틀어 ${\displaystyle a}$의 거듭제곱근이라고 한다.

정의

양의 정수 ${\displaystyle n}$이 주어졌다고 하자. 실수 또는 복소수 ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱근(영어: n-th root)은

${\displaystyle x^{n}=a}$

인 실수 또는 복소수 ${\displaystyle x}$를 일컫는다. 여기서

${\displaystyle x^{n}=\underbrace {x\times x\times \cdots \times x} _{n}}$

은 ${\displaystyle x}$의 ${\displaystyle n}$제곱이다.

실수의 거듭제곱근

임의의 실수 또는 복소수의 ${\displaystyle n}$제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 ${\displaystyle n}$개가 있으며, ${\displaystyle a\neq 0}$인 경우 이들은 서로 다르다. 실수 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$의 경우, 그 가운데 하나

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\in \mathbb {R} }$

를 다음과 같이 고를 수 있다. 만약 ${\displaystyle a=0}$인 경우, 0의 ${\displaystyle n}$제곱근은 0으로 유일하다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{0}}=0}$

만약 ${\displaystyle a\neq 0}$이며, ${\displaystyle n}$이 홀수라면, ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱근 가운데 실수인 하나 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\in \mathbb {R} }$가 유일하게 존재한다. 구체적으로, 실수의 완비성을 사용하여, 특정 부분 집합의 상한 또는 하한으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{a}}&=\sup\{x\in \mathbb {R} \colon x^{n}<a\}\\&=\inf\{x\in \mathbb {R} \colon x^{n}>a\}\end{aligned}}}$

만약 ${\displaystyle a>0}$이며, ${\displaystyle n}$이 짝수라면, ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱근 가운데 실수인 것은 둘이 존재하며, 서로 덧셈 역원이다. 이 가운데 양의 실수인 하나를 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$로 정의하자. 그렇다면 나머지 하나는 ${\displaystyle -{\sqrt[{n}]{a}}}$이다. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$의 구체적인 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{a}}&=\sup\{x\in \mathbb {R} ^{+}\colon x^{n}<a\}\\&=\inf\{x\in \mathbb {R} ^{+}\colon x^{n}>a\}\end{aligned}}}$

만약 ${\displaystyle a<0}$이며, ${\displaystyle n}$이 짝수라면, ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$개의 ${\displaystyle n}$제곱근은 모두 실수가 아니다. ${\displaystyle a}$는 실수이므로, 복소수이다. 따라서, 복소수의 특별한 ${\displaystyle n}$제곱근을 고르는 방법을 사용한다.

복소수의 거듭제곱근

복소수 ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$의 ${\displaystyle n}$제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 총 ${\displaystyle n}$개가 있으며, ${\displaystyle a\neq 0}$인 경우 이들은 서로 다르다. 이 가운데 하나가

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\in \mathbb {C} }$

라면, ${\displaystyle n}$개의 거듭제곱근들은 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} /n}\qquad (k=0,1,\dots ,n-1)}$

특별한 거듭제곱근 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$를 고르는 방법은 유일하지 않다. 0이 아닌 복소수 ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$를 그 절댓값 ${\displaystyle |a|}$과 편각 ${\displaystyle \arg a}$를 사용하여

${\displaystyle a=|a|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg a}}$

로 나타내자. 절댓값 ${\displaystyle |a|}$은 음이 아닌 실수이므로, 그 표준적인 실수 거듭제곱근 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a|}}}$를 고를 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle a}$의 모든 ${\displaystyle n}$제곱근은 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a|}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\arg a+2k\pi )/n}\qquad (k=0,1,\dots ,n-1)}$

또한, ${\displaystyle a}$의 표준적인 거듭제곱근을 다음과 같이 고를 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{n}]{|a|}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg a/n}}$

얼핏 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$를 고르는 방법을 유일하게 결정한 것처럼 보이지만, 편각의 선택은 유일하지 않으므로 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$를 고르는 방법은 유일하지 않다. 예를 들어, 편각

${\displaystyle \arg a\in (-\pi ,\pi ]}$

에 대한 거듭제곱근과

${\displaystyle \arg a\in [0,2\pi )}$

에 대한 거듭제곱근은 일반적으로 다르다.

용어와 표기법

작은 ${\displaystyle n}$에 대한 거듭제곱근은 다음과 같다.

• 만약 ${\displaystyle n=2}$인 경우, ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱근을 ${\displaystyle a}$의 제곱근이라고 하며, ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}}$ 대신 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$라고 쓴다.
• 만약 ${\displaystyle n=3}$인 경우, ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱근을 ${\displaystyle a}$의 세제곱근 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$이라고 한다.
• 만약 ${\displaystyle n=4}$인 경우, ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱근을 ${\displaystyle a}$의 네제곱근(영어: fourth root) ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$이라고 한다.
• 만약 ${\displaystyle n=5}$인 경우, ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱근을 ${\displaystyle a}$의 다섯제곱근(영어: fifth root) ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$이라고 한다.

거듭제곱근 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$은 거듭제곱을 사용하여

${\displaystyle a^{1/n}}$

이라고 쓸 수 있다.

성질

음이 아닌 실수의 거듭제곱근의 경우, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad (b\neq 0)}$

그러나, 이는 음의 실수나 복소수의 거듭제곱근에서 성립하지 않는다. 예를 들어,

${\displaystyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$

이지만,

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=-1}$

이다.

갈루아 군

체 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. 양의 홀수 ${\displaystyle n}$이 주어졌고, ${\displaystyle \operatorname {char} K\nmid n}$이며, ${\displaystyle \zeta _{n}}$이 1의 원시 ${\displaystyle n}$제곱근이라고 하자. 또한, 체의 원소 ${\displaystyle a\in K}$가 주어졌으며, 임의의 소수 ${\displaystyle p\mid n}$에 대하여 ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle p}$제곱근을 포함하지 않는다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle n}$제곱근들을 근으로 하는 다항식 ${\displaystyle x^{n}-a\in K[x]}$의 분해체 ${\displaystyle K({\sqrt[{n}]{a}},\zeta _{n})}$의 갈루아 군은 다음과 같다.^{[1]:300, Theorem 9.4}

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K({\sqrt[{n}]{a}},\zeta _{n})/K)\cong \mathbb {Z} /n\rtimes (\mathbb {Z} /n)^{\times }}$

구체적으로, ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} /n}$ 및 ${\displaystyle d\in (\mathbb {Z} /n)^{\times }}$의 순서쌍에 대응하는 자기 동형 사상은 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\mapsto a\zeta _{n}^{c}}$

${\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{d}}$

예

${\displaystyle 2^{3}=8}$이다. 따라서,

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$

이다. 이는 8의 유일한 실수 세제곱근이다. 8의 세제곱근은 3개가 있으며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle 2,2\mathrm {e} ^{2\pi /3},2\mathrm {e} ^{4\pi /3}}$

${\displaystyle 3^{4}=81}$이다. 따라서,

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{81}}=3}$

이다. 81의 실수 네제곱근은 3과 −3 둘이다. 81의 네제곱근은 4개가 있으며, 다음과 같다.

${\displaystyle 3,3\mathrm {i} ,-3,-3\mathrm {i} }$