거스틴해버 대수

추상대수학과 대수적 위상수학 및 양자장론에서 거스틴해버 대수(영어: Gerstenhaber algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수와 리 대수의 구조를 합친 대수 구조의 하나이다.

정의

거스틴해버 대수 ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 등급을 갖는 대수이다.

${\displaystyle A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }(A_{+}^{p}\oplus A_{-}^{p})}$

이 위에 정의된 연산들은 다음과 같다.

• 곱 ${\displaystyle \cdot }$은 초교환 법칙 · 결합 법칙을 만족시키는, 등급 0의 이항 연산이다.
• 리 괄호 ${\displaystyle [,]}$은 등급 −1의 이항 연산이며, 이는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
  • (초교환 법칙) ${\displaystyle [a,b]=-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}[b,a]}$
  • (야코비 항등식) ${\displaystyle [a,[b,c]]=[[a,b],c]+(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}[b,[a,c]]}$
• 곱과 리 괄호는 다음과 같은 푸아송 항등식을 만족시킨다.
  • ${\displaystyle [a,bc]=[a,b]c+(-1)^{(\deg a-1)\deg b}b[a,c]}$

호모토피 거스틴해버 대수

호모토피 거스틴해버 대수(영어: homotopy Gerstenhaber algebra, G_∞-algebra, braid algebra, 2-algebra)는 역시 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 등급을 갖는 대수이다.^[1][2]:57 이 위에는 모든

${\displaystyle n=n_{1}+\cdots +n_{k}\qquad (n_{i}\geq 1,k\geq 1)}$

에 대하여, ${\displaystyle n}$항 연산 ${\displaystyle m_{n_{1},\dots ,n_{k}}}$이 존재하며, 이는 등급 ${\displaystyle 3-n-k}$을 갖는다.

처음 몇 연산들은 다음과 같다.

• 1항 연산은 하나밖에 없으며, 보통 ${\displaystyle m_{1}=d}$로 쓴다. 이는 등급 1의 연산자이며, 공사슬 복합체의 공경계이다.
• 2항 연산은 두 개가 있다. 보통 ${\displaystyle m_{2}=\cdot }$, ${\displaystyle m_{1,1}=\circ }$로 쓴다.
• 3항 연산은 4개가 있으며, ${\displaystyle m_{1,1,1}}$, ${\displaystyle m_{1,2}}$, ${\displaystyle m_{2,1}}$, ${\displaystyle m_{3}}$이다.

이들 사이의 처음 몇 개의 항등식들은 다음과 같다.

• (멱영성) ${\displaystyle d^{2}=0}$
• (곱 규칙) ${\displaystyle d(ab)=(da)b+a(db)}$
• (호모토피 결합 법칙) ${\displaystyle a(bc)-(ab)c=m_{3}(da,b,c)+(-1)^{\deg a}m_{3}(a,db,c)+(-1)^{\deg a+\deg b}m_{3}(a,b,dc)}$
• (호모토피 교환 법칙) ${\displaystyle ab-(-1)^{\deg a\deg b}ba=d(a\circ b)-da\circ b-(-1)^{\deg a-1}a\circ db}$
• ${\displaystyle (a\circ b)\circ c-a\circ (b\circ c)+m_{2,1}(a,b;c)-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}m_{2,1}(b,a;c)+(-1)^{(\deg b-1)(\deg c-1)}m_{1,2}(a;c,b)-m_{1,2}(a,b,c)=dm_{1,1,1}(a;b;c)-m_{1,1,1}(da;b;c)-(-1)^{\deg a-1}(a;db;c)-(-1)^{\deg a+\deg b}m_{1,1,1}(a;b;dc)}$

성질

호모토피 거스틴해버 대수는 A_∞-대수(결합 대수의 호모토피화)와 호모토피 리 대수의 공통적인 일반화이다.

• 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 ${\displaystyle m_{n_{1},\dots ,n_{k}}}$ 가운데, ${\displaystyle k=1}$인 연산들은 A_∞-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 A_∞-대수이다.
• 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 ${\displaystyle m_{n_{1},\dots ,n_{k}}}$ 가운데, ${\displaystyle k=n}$인 연산들의 완전 등급 반대칭화는 L_∞-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 L_∞-대수이다.

거스틴해버 대수는 호모토피 거스틴해버 대수의 특수한 경우이다. 호모토피 거스틴해버 대수 ${\displaystyle A}$에서, 2항 연산이 아닌 모든 연산이 0이며, 또한

${\displaystyle a\circ b-(-1)^{\deg a\deg b}b\circ a=[a,b]}$

${\displaystyle a\circ b+(-1)^{\deg a\deg b}b\circ a=0}$

이라면, ${\displaystyle (A,\cdot ,[,])}$은 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 일반적인 호모토피 거스틴해버 대수의 코호몰로지는 거스틴해버 대수를 이룬다.

예

결합 법칙을 따르는 대수 ${\displaystyle A}$의 호흐실트 코호몰로지 ${\displaystyle H^{\bullet }(A,A)}$는 거스틴해버 대수를 이루며, 호흐실트 공사슬들의 대수는 호모토피 거스틴해버 대수를 이룬다.^[1] 또한, 위상 꼭짓점 연산자 대수 역시 자연스럽게 호모토피 거스틴해버 대수를 이루며,^[1] 여기에 BRST 양자화로 물리적인 상태들로 구성된 코호몰로지를 취하면 이 위에는 거스틴해버 대수의 구조가 존재한다.^[3]

바탈린-빌코비스키 대수는 추가 구조 (${\displaystyle \Delta }$ 연산자)를 갖춘 거스틴해버 대수이다.

리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 외대수 ${\displaystyle \bigwedge ^{\bullet }{\mathfrak {g}}}$는 자연스럽게 거스틴해버 대수의 구조를 갖는다.

역사

머리 거스틴해버

머리 거스틴해버(영어: Murray Gerstenhaber)가 도입하였다.^[4]