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거스틴해버 대수

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추상대수학대수적 위상수학양자장론에서 거스틴해버 대수(영어: Gerstenhaber algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수와 리 대수의 구조를 합친 대수 구조의 하나이다.

정의

요약
관점

거스틴해버 대수 등급을 갖는 대수이다.

이 위에 정의된 연산들은 다음과 같다.

  • 은 초교환 법칙 · 결합 법칙을 만족시키는, 등급 0의 이항 연산이다.
  • 리 괄호 은 등급 −1의 이항 연산이며, 이는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
    • (초교환 법칙)
    • (야코비 항등식)
  • 곱과 리 괄호는 다음과 같은 푸아송 항등식을 만족시킨다.
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호모토피 거스틴해버 대수

요약
관점

호모토피 거스틴해버 대수(영어: homotopy Gerstenhaber algebra, G-algebra, braid algebra, 2-algebra)는 역시 등급을 갖는 대수이다.[1][2]:57 이 위에는 모든

에 대하여, 항 연산 이 존재하며, 이는 등급 을 갖는다.

처음 몇 연산들은 다음과 같다.

  • 1항 연산은 하나밖에 없으며, 보통 로 쓴다. 이는 등급 1의 연산자이며, 공사슬 복합체의 공경계이다.
  • 2항 연산은 두 개가 있다. 보통 , 로 쓴다.
  • 3항 연산은 4개가 있으며, , , , 이다.

이들 사이의 처음 몇 개의 항등식들은 다음과 같다.

  • (멱영성)
  • (곱 규칙)
  • (호모토피 결합 법칙)
  • (호모토피 교환 법칙)
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성질

요약
관점

호모토피 거스틴해버 대수는 A-대수(결합 대수의 호모토피화)와 호모토피 리 대수의 공통적인 일반화이다.

  • 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 가운데, 인 연산들은 A-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 A-대수이다.
  • 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 가운데, 인 연산들의 완전 등급 반대칭화는 L-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 L-대수이다.

거스틴해버 대수는 호모토피 거스틴해버 대수의 특수한 경우이다. 호모토피 거스틴해버 대수 에서, 2항 연산이 아닌 모든 연산이 0이며, 또한

이라면, 은 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 일반적인 호모토피 거스틴해버 대수의 코호몰로지는 거스틴해버 대수를 이룬다.

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결합 법칙을 따르는 대수 호흐실트 코호몰로지 는 거스틴해버 대수를 이루며, 호흐실트 공사슬들의 대수는 호모토피 거스틴해버 대수를 이룬다.[1] 또한, 위상 꼭짓점 연산자 대수 역시 자연스럽게 호모토피 거스틴해버 대수를 이루며,[1] 여기에 BRST 양자화로 물리적인 상태들로 구성된 코호몰로지를 취하면 이 위에는 거스틴해버 대수의 구조가 존재한다.[3]

바탈린-빌코비스키 대수는 추가 구조 ( 연산자)를 갖춘 거스틴해버 대수이다.

리 대수 외대수 는 자연스럽게 거스틴해버 대수의 구조를 갖는다.

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역사

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머리 거스틴해버

머리 거스틴해버(영어: Murray Gerstenhaber)가 도입하였다.[4]

참고 문헌

외부 링크

같이 보기

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