다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 가환환

-결합 대수 
-쌍가군
. 즉,
은
-쌍가군이며, 또한
위의 왼쪽
-작용이 오른쪽
-작용과 일치한다고 하자.
호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.
- 호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
- 호흐실트 (코)호몰로지는 호흐실트 (공)사슬 복합체(영어: Hochschild (co)chain complex)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
- 호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.
흔히,
인 특수한 경우가 자주 사용된다.
추상적 정의
의 포락 대수(包絡代數, 영어: enveloping algebra)

를 정의할 수 있다. 이는
-결합 대수이며,
은
-왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로,
도
의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,


이다.
의
계수의 호흐실트 호몰로지 군
및 호흐실트 코호몰로지 군
은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다.


구체적 정의
다음이 주어졌다고 하자.
- 가환환

-가군 범주의 단체 대상 
그렇다면,

를 정의하면,

이 되어, 사슬 복합체

를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군
의 호흐실트 호몰로지라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체


의 코호몰로지를 단체 가군
의 호흐실트 코호몰로지라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상
이 쓰이지 않는다.)
특히, 만약 위와 같이
위의 결합 대수
와
-쌍가군
이 주어졌다면, 다음과 같은 호흐실트 단체 가군(영어: Hochschild simplicial module)
을 정의할 수 있다.[1]:45, (1.6.1.2)





결합 대수
의
계수 호흐실트 호몰로지란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.
은 사슬 복합체로서

의 꼴이다. 여기서
는
의 막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체

를 정의할 수 있으며,
의
계수 호흐실트 코호몰로지란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.
위상수학적 정의
계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 가환환

속의 단체 대상
. 여기서
은 단체 범주이다.
그렇다면, 단체 가군의 범주
은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.
이 경우,
의 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지는 각각 다음과 같다.[1]:§6.2


여기서
는 모든 성분이 1차원 자유 가군
이며,
및
모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.
(사실, 만약
이라면, 호흐실트 단체 가군
는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주
에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.[1]:213, Theorem 6.2.8[1]:214, Theorem 6.2.9)