계단 함수

수학에서 계단 함수(階段函數, 영어: step function) 또는 조각마다 상수 함수(-常數函數, 영어: piecewise-constant function)는 정의역을 적절한 유한 개의 구간으로 분할하였을 때 각 구간에서 상수 함수가 되는 함수이다.

정의

실수 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$의 지시 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle 1_{A}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle 1_{A}\colon x\mapsto {\begin{cases}1&x\in A\\0&x\in \mathbb {R} \setminus A\end{cases}}}$

계단 함수는 다음과 같은 꼴의 함수를 뜻한다.

${\displaystyle s\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle s=\sum _{k=1}^{n}c_{k}1_{I_{k}}=c_{1}1_{I_{1}}+\cdots c_{n}1_{I_{n}}}$

여기서 ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}\in \mathbb {R} }$는 실수들이며, ${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{k}\subseteq \mathbb {R} }$는 실수 구간들이다.

성질

연산에 대한 닫힘

두 계단 함수의 합과 곱은 여전히 계단 함수이다. 이에 따라 구간 ${\displaystyle I}$ 위의 계단 함수의 집합은 실수체 위의 대수를 이룬다.

미분

계단 함수는 유한 개의 점을 제외하면 미분 가능하며, 모든 미분 가능점에서의 미분은 0이다.

적분

계단 함수의 부정적분은 조각마다 일차 함수이다.

계단 함수의 르베그 적분은 다음과 같다.

${\displaystyle \int \sum _{k=1}^{n}c_{k}1_{I_{k}}\mathrm {d} \mu =\sum _{k=1}^{n}c_{k}\mu (I_{k})}$

여기서 ${\displaystyle \mu }$는 르베그 측도이다.

예

함수

${\displaystyle s\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle s\colon x\mapsto {\begin{cases}0&x\in (-\infty ,0)\\5&x\in [0,1)\\-1&x=1\\2&x\in (1,2)\\9&x\in [2,3]\\0&x\in (3,\infty )\end{cases}}}$

는 계단 함수이다.

같이 보기

• 시그모이드 함수
• 단순 함수
• 단위 계단 함수

외부 링크

• “Step function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Step function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Step function”. 《nLab》 (영어).
• “Definition:Step function”. 《ProofWiki》 (영어).