계수-퇴화차수 정리

선형대수학에서 계수-퇴화차수 정리(영어: rank-nullity theorem)는 행렬의 상과 핵의 차원의 관계에 대한 정리이다.

계수-퇴화차수 정리의 시각적 표현

정의

선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$의 정의역 ${\displaystyle V}$가 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음의 계수-퇴화차수 정리가 성립한다.

${\displaystyle \dim \operatorname {im} T+\dim \ker T=\dim V}$

여기서 ${\displaystyle \dim }$은 차원이며, ${\displaystyle \operatorname {im} T}$는 ${\displaystyle T}$의 상이며, ${\displaystyle \ker T}$는 ${\displaystyle T}$의 핵이다. 상의 차원을 계수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

${\displaystyle \operatorname {rank} T=\dim \operatorname {im} T}$

핵의 차원을 퇴화차수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

${\displaystyle \operatorname {nul} T=\dim \ker T}$

그렇다면, 계수-퇴화차수 정리를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.^[1]:71

${\displaystyle \operatorname {rank} T+\operatorname {nul} T=\dim V}$

증명

사실, 계수-퇴화차수 정리는 벡터 공간의 제1 동형 정리

${\displaystyle V/\ker T\cong \operatorname {im} T}$

의 자명한 따름정리이다. 이를 의존하지 않는 한 가지 증명은 다음과 같다.^[1]:71 ${\displaystyle \dim V=n}$이라고 하자. ${\displaystyle \ker T}$의 기저 ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\}}$(${\displaystyle r\leq n}$)를 취한 뒤, 이를 확장하여 ${\displaystyle V}$의 기저 ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r},v_{r+1},\dots ,v_{n}\}}$을 만들자. 정리를 증명하려면, ${\displaystyle \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}}$이 ${\displaystyle \operatorname {im} T}$의 기저를 이룸을 보이는 것으로 족하다. 이를 보이려면, 다음 두 명제를 증명하기만 하면 된다.

• ${\displaystyle \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}}$은 선형 독립이다.
  • 증명: ${\displaystyle \sum _{j=r+1}^{n}a_{j}Tv_{j}=0}$이며 ${\displaystyle a_{r+1},a_{r+2},\dots ,a_{n}\in K}$라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라 ${\displaystyle T\left(\sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}\right)=0}$이며, ${\displaystyle \ker T}$의 정의에 따라 ${\displaystyle \sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}\in \ker T}$이다. ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\}}$가 ${\displaystyle \ker T}$의 기저이므로, ${\displaystyle \sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}v_{k}}$인 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{r}\in K}$가 존재한다. 따라서, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{r}a_{k}v_{k}-\sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}=0}$인데, ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}}$이 ${\displaystyle V}$의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서 ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\dots =a_{n}=0}$이며, 특히 ${\displaystyle a_{r+1}=a_{r+2}=\cdots =a_{n}=0}$이다.
• ${\displaystyle \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}}$은 ${\displaystyle \operatorname {im} T}$를 선형 생성한다.
  • 증명: ${\displaystyle w\in \operatorname {im} T}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {im} T}$의 정의에 따라 ${\displaystyle w=Tv}$인 ${\displaystyle v\in V}$가 존재한다. 이 ${\displaystyle v}$는 기저 ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}}$의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉, ${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i}}$인 ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in K}$가 존재한다. 따라서 ${\displaystyle w=Tv=\sum _{i=1}^{n}b_{i}Tv_{i}}$인데, ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\in \ker T}$이므로, ${\displaystyle Tv_{1}=Tv_{2}=\cdots =Tv_{r}=0}$이다. 즉, ${\displaystyle w=\sum _{i=r+1}^{n}b_{i}Tv_{i}}$이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle w\in \operatorname {im} T}$는 ${\displaystyle \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}}$의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

이에 따라, ${\displaystyle \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}}$은 ${\displaystyle \operatorname {im} T}$의 기저가 맞으며, 이로써 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다.