곱 (범주론)

범주론에서 곱(영어: product)은 곱집합이나 곱공간의 개념을 일반화한 개념이다. 항등사상 이외의 사상을 포함하지 않는 그림의 극한이다.

정의

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상의 집합 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 곱은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

• 대상 ${\displaystyle X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$
• 각 ${\displaystyle X_{i}}$에 대하여, 사상 ${\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}}$. 이들을 사영 사상(projection morphism)이라고 한다.

이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 ${\displaystyle Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$와 사상 ${\displaystyle f_{i}\colon Y\to X_{i}}$에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 ${\displaystyle f\colon Y\to X}$가 존재한다.

${\displaystyle \pi _{i}f=f_{i}}$.

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 ${\displaystyle f}$가 존재한다.

이 때, ${\displaystyle X\ }$를 곱이라 부르고 ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$로 표현한다.

대각 사상

 이 부분의 본문은 대각 사상입니다.

대상 ${\displaystyle X}$와 기수 ${\displaystyle \kappa }$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle \kappa }$개의 ${\displaystyle X}$들의 곱 ${\displaystyle X^{\times \kappa }}$이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$로부터 유도되는 사상

${\displaystyle \operatorname {diag} _{X}\colon X\to X^{\times \kappa }}$

이 존재한다. 이를 대각 사상(對角寫像, 영어: diagonal morphism)이라고 한다.

예

각종 범주에서의 곱은 다음과 같다.

범주	곱
집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$	곱집합 ${\displaystyle A\times B}$
위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$	곱공간 ${\displaystyle A\times B}$
군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$	직접곱 ${\displaystyle A\times B}$
아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$	직접곱 ${\displaystyle A\times B}$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
체 ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 공간의 범주 ${\displaystyle K-\operatorname {Vect} }$	직접곱 ${\displaystyle A\times _{k}B}$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
환 ${\displaystyle R}$에 대한 왼쪽 가군의 범주 ${\displaystyle R-\operatorname {Mod} }$	직접곱 ${\displaystyle A\times _{R}B}$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
집합과 이항관계의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Rel} }$	분리합집합 ${\displaystyle A\sqcup B}$

같이 보기

• 쌍대곱
• 극한 (범주론)
• 귀납적 극한

참고 문헌

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). 《Abstract and Concrete Categories》 (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. 2015년 4월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 4월 20일에 확인함.
• Barr, Michael; Charles Wells (1999). 《Category Theory for Computing Science》 (PDF). Les Publications CRM Montreal (publication PM023). 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 4월 20일에 확인함. Chapter 5.
• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the Working Mathematician》 2판. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Definition 2.1.1 in Borceux, Francis (1994). 《Handbook of categorical algebra》. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. 39쪽. ISBN 0-521-44178-1.