쌍대곱

범주론에서 쌍대곱(雙對-, 영어: coproduct)은 곱에 대한 쌍대(dual) 개념이다. 가군의 직합이나 집합의 분리 합집합 등을 일반화한다. 이산 범주를 정의역으로 하는 함자의 쌍대극한으로 생각할 수 있다.

정의

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상의 집합 ${\displaystyle \{X_{j}\}_{j\in J}}$를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 쌍대곱 ${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

• 대상 ${\displaystyle X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$
• 각 ${\displaystyle X_{j}}$에 대하여, 사상 ${\displaystyle i_{j}\colon X_{j}\to X}$

이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 ${\displaystyle Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$와 사상 ${\displaystyle f_{j}\colon X_{j}\to Y}$에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 존재한다.

${\displaystyle fi_{j}=f_{j}}$.

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 ${\displaystyle f}$가 존재한다.

예

각종 범주에서의 쌍대곱은 다음과 같다.

범주	쌍대곱
집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$	분리합집합 ${\displaystyle A\sqcup B}$
위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$	분리합공간 ${\displaystyle A\sqcup B}$
군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$	자유곱 ${\displaystyle A*B}$
아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$	직합 ${\displaystyle A\oplus B}$ (유한 직합은 곱과 일치)
체 ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {{\mathit {K}}-Vect} }$	직합 ${\displaystyle A\oplus B}$
환 ${\displaystyle R}$에 대한 왼쪽 가군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {{\mathit {R}}-Mod} }$	직합 ${\displaystyle A\oplus B}$
가환환 ${\displaystyle R}$에 대한 가환 결합 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {{\mathit {R}}-CAlg} }$	텐서곱 ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$
콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CompHaus} }$	분리합공간의 스톤-체흐 콤팩트화 ${\displaystyle \beta (A\sqcup B)}$

같이 보기

• 극한 (범주론)
• 귀납적 극한
• 밂 (범주론)