공선점

기하학에서, 일련의 점의 공선점(共線點, 영어: collinear point)은 그 점들이 하나의 직선 위에 놓여 있는 속성이다.^[1] 이 속성을 가진 점들의 집합을 공선점이라고 한다(co-linear^[2]으로 표기되기도 함). 더 일반적으로, 이 용어는 정렬된 객체, 즉 "한 줄에" 또는 "한 행에" 있는 것들을 위해 사용되었다.

한 직선 위의 점

데카르트 좌표계에 있는 공선 유클리드 벡터이다.

모든 기하학에서, 한 직선 위의 점들의 집합은 공선적이라고 한다. 유클리드 기하학에서 이 관계는 점들이 "직선" 위에 한 줄로 놓여 있는 것으로 직관적으로 시각화된다. 그러나 대부분의 기하학(유클리드 기하학 포함)에서 직선은 일반적으로 무정의 용어이므로, 그러한 시각화가 반드시 적절하지는 않을 수 있다. 기하학을 위한 수학적 모델은 점, 선 및 기타 객체 유형이 서로 어떻게 관련되는지에 대한 해석을 제공하며, 공선성과 같은 개념은 해당 모델의 맥락에서 해석되어야 한다. 예를 들어, 구면 기하학에서는 표준 모델에서 직선이 구의 대원으로 표현될 때, 공선점 집합은 같은 대원 위에 놓인다. 이러한 점들은 유클리드적 의미에서 "직선" 위에 놓이지 않으며, 한 줄로 있다고 생각되지 않는다.

기하학을 자신에게 매핑하여 선을 선으로 보내는 것을 공선성 변환이라고 한다. 이는 공선성 속성을 보존한다. 벡터 공간의 선형 변환 (또는 선형 함수)은 기하학적 매핑으로 간주되어 선을 선으로 매핑한다. 즉, 공선점 집합을 공선점 집합으로 매핑하므로 공선성 변환이다. 사영기하학에서 이러한 선형 매핑을 호모그래피라고 하며, 이는 공선성 변환의 한 종류이다.

유클리드 기하학에서의 예시

삼각형

모든 삼각형에서 다음 점들의 집합은 공선적이다.

• 수심, 외심, 무게 중심, 엑서터 점, 드 롱샹 점, 그리고 구점원의 중심은 공선적이며, 모두 오일러 직선이라는 한 직선 위에 놓인다.
• 드 롱샹 점은 또한 다른 공선성을 가진다.
• 어떤 꼭짓점, 반대편 변과 방접원의 접점, 그리고 나겔 점은 삼각형의 분할선이라고 불리는 한 직선 위에 공선적이다.
• 어떤 변의 중점, 삼각형의 경계를 따라 양쪽으로 등거리에 있는 점(따라서 이 두 점은 둘레를 이등분) 및 슈피커 원의 중심은 삼각형의 클리버 (기하학)라고 불리는 한 직선 위에 공선적이다. (슈피커 원은 중점 삼각형의 내접원이며, 그 중심은 삼각형 둘레의 질량 중심이다.)
• 어떤 꼭짓점, 반대편 변과 내접원의 접점, 그리고 제르곤 점은 공선적이다.
• 삼각형의 외접원 위의 어떤 점에서, 삼각형의 세 확장된 변 각각에 가장 가까운 점들은 외접원 위의 점의 심슨 직선 위에 공선적이다.
• 높이의 발들을 연결하는 선들은 공선점들에서 반대편 변들과 교차한다.^[3]:p.199
• 삼각형의 내심, 높이의 중점, 그리고 해당 변과 관련된 방접원의 접점은 공선적이다.^{[4]:p.120,#78}
• 메넬라우스 정리는 삼각형의 변(일부는 확장된) 위에 각각 꼭짓점 ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$의 반대편에 있는 세 점 ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$이 다음 선분 길이의 곱이 같을 때에만 공선적이라고 명시한다.^{[3]:p. 147}

${\displaystyle P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.}$

• 내심, 무게 중심, 그리고 슈피커 원의 중심은 공선적이다.
• 삼각형의 외심, 브로카르 중점, 그리고 대칭 중점은 공선적이다.^[5]
• 삼각형의 수심에서 교차하는 두 수직선 각각은 삼각형의 각 확장된 변과 교차한다. 이 교차점들의 세 변 위의 중점들은 드로즈-파르니 직선 정리에서 공선적이다.

사각형

• 반대편 변이 E와 F에서 교차하는 볼록 사각형 ABCD에서, AC, BD, EF의 중점들은 공선적이며 그들을 지나는 선을 뉴턴 선이라고 한다. 사각형이 외접 사각형인 경우, 그 내심도 이 선 위에 놓인다.^[6]
• 볼록 사각형에서, 준수심 H, "면적 무게 중심" G, 그리고 준외심 O는 이 순서로 공선적이며, HG = 2GO이다.^[7] (사각형#볼록 사각형의 특이점과 선 참조.)

• 외접 사각형의 다른 공선성은 외접 사각형#공선점에 제시되어 있다.
• 내접 사각형에서, 외심, 꼭짓점 무게 중심 (두 중위선의 교점), 그리고 안티센터는 공선적이다.^[8]
• 내접 사각형에서, 면적 무게 중심, 꼭짓점 무게 중심, 그리고 대각선의 교점은 공선적이다.^[9]
• 접하는 사다리꼴에서, 두 밑변과 내접원의 접점은 내심과 공선적이다.
• 접하는 사다리꼴에서, 다리의 중점은 내심과 공선적이다.

육각형

• 파스칼 정리 (또는 헥사그램 미스티쿰 정리)는 원뿔 곡선 (즉, 타원, 포물선 또는 쌍곡선) 위에 임의의 여섯 점을 선택하고 어떤 순서로 선분으로 연결하여 육각형을 만들면, 육각형의 세 쌍의 반대편 변(필요시 확장)이 세 점에서 만나고 이 점들이 육각형의 파스칼 직선이라고 불리는 한 직선 위에 놓인다고 명시한다. 역도 참이다: 브레이컨리지-매클로린 정리는 육각형의 반대편 변을 지나는 세 쌍의 선의 세 교점이 한 직선 위에 놓이면, 육각형의 여섯 꼭짓점이 파푸스의 육각형 정리에서와 같이 퇴화될 수 있는 원뿔 곡선 위에 놓인다고 명시한다.

원뿔 곡선

• 몽주 정리에 따르면, 평면의 세 원 중 어느 하나도 다른 원 안에 완전히 포함되지 않는 경우, 각 원의 두 원에 외접하는 세 쌍의 선들의 세 교점은 공선적이다.
• 타원에서, 중심, 두 초점, 그리고 가장 작은 곡률 반경을 가진 두 꼭짓점은 공선적이며, 중심과 가장 큰 곡률 반경을 가진 두 꼭짓점도 공선적이다.
• 쌍곡선에서, 중심, 두 초점, 그리고 두 꼭짓점은 공선적이다.

원뿔

• 균일한 밀도의 원뿔형 고체의 질량 중심은 밑면의 중심에서 꼭짓점까지의 직선을 따라 4분의 1 지점에 놓인다.

사면체

• 사면체의 무게 중심은 몽주 점과 외심 사이의 중점이다. 이 점들은 삼각형의 오일러 직선과 유사한 사면체의 오일러 선을 정의한다. 사면체의 12점 구의 중심도 오일러 선 위에 놓인다.

대수학

좌표가 주어진 점들의 공선성

좌표 기하학에서, n-차원 공간에서 세 개 이상의 서로 다른 점 집합은 해당 벡터들의 좌표 행렬의 계수가 1 이하일 때만 공선적이다. 예를 들어, 세 점이 주어졌을 때

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n}),\\Y&=(y_{1},\ y_{2},\ \dots ,\ y_{n}),\\Z&=(z_{1},\ z_{2},\ \dots ,\ z_{n}),\end{aligned}}}$

다음 행렬이

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}}$

계수가 1 이하이면 점들은 공선적이다.

동등하게, X, Y, Z의 모든 부분 집합에 대해, 다음 행렬이

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}}$

계수가 2 이하이면 점들은 공선적이다. 특히, 평면의 세 점(n = 2)의 경우, 위 행렬은 정방 행렬이며 점들은 행렬식이 0일 때에만 공선적이다. 이 3×3 행렬식은 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이의 두 배에 양수 또는 음수를 취한 것이므로, 이는 세 점이 꼭짓점인 삼각형의 넓이가 0일 때에만 점들이 공선적이라는 진술과 동등하다.

쌍별 거리가 주어진 점들의 공선성

적어도 세 개의 서로 다른 점들의 집합은 직선적이라고 불리며, 이는 모든 점이 공선적이라는 의미인데, 이는 세 점 A, B, C 각각에 대해 다음 케일리-멩거 행렬식의 행렬식이 0일 때에만 성립한다 (여기서 d(AB)는 A와 B 사이의 거리를 의미한다).

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

이 행렬식은 헤론 공식에 의해 변의 길이가 d(AB), d(BC), d(AC)인 삼각형의 넓이의 제곱에 -16을 곱한 것과 같으므로, 이 행렬식이 0인지 확인하는 것은 꼭짓점 A, B, C를 가진 삼각형의 넓이가 0인지 확인하는 것과 동등하다 (따라서 꼭짓점은 공선적이다).

동등하게, 적어도 세 개의 서로 다른 점들의 집합은 A, B, C 세 점 각각에 대해 d(AC)가 d(AB)와 d(BC) 각각보다 크거나 같고 삼각 부등식 d(AC) ≤ d(AB) + d(BC)가 등식으로 성립할 때에만 공선적이다.

수론

두 수 m과 n은 서로소가 아닐 때, 즉 1 이외의 공통 약수를 가질 때에만, 꼭짓점이 (0, 0), (m, 0), (m, n), (0, n)인 정사각 격자 위에 그려진 직사각형의 내부 점 중 적어도 하나가 (0, 0)과 (m, n)과 공선적이다.

공점 (평면 쌍대)

다양한 평면 기하학에서 "점"과 "선"의 역할을 서로 바꾸면서 그들 사이의 관계를 유지하는 개념을 평면 쌍대성이라고 한다. 공선점 집합이 주어지면, 평면 쌍대성에 의해 모두 공통점에서 만나는 선들의 집합을 얻는다. 이 선들의 집합이 갖는 속성(공통점에서 만나는 것)을 공점이라고 하며, 이 선들을 공점선이라고 한다. 따라서 공점은 공선성에 대한 평면 쌍대 개념이다.

공선성 그래프

두 점이 최대 한 선을 결정하는 부분 기하학 P가 주어졌을 때, P의 공선성 그래프는 꼭짓점이 P의 점들이고, 두 꼭짓점이 P에서 선을 결정할 때에만 인접하는 그래프이다.

통계학 및 계량 경제학에서의 사용

 이 부분의 본문은 다중공선성입니다.

통계학에서, 공선성은 두 설명 변수 사이의 선형 관계를 의미한다. 두 변수 사이에 정확한 선형 관계가 존재하여 상관 관계가 1 또는 -1과 같을 때 두 변수는 완벽하게 공선적이다. 즉, X₁과 X₂는 모든 관측값 i에 대해 ${\displaystyle \lambda _{0}}$과 ${\displaystyle \lambda _{1}}$이라는 매개변수가 존재하여 다음이 성립할 때 완벽하게 공선적이다.

${\displaystyle X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.}$

이는 다양한 관측값 (X_1i, X_2i)을 (X₁, X₂) 평면에 그리면, 이 점들이 이 문서의 앞부분에서 정의된 의미로 공선적이라는 것을 의미한다.

완벽한 다중공선성은 다중회귀분석 모델에서 k (k ≥ 2)개의 설명 변수가 모든 관측값 i에 대해 다음 관계에 따라 완벽하게 선형적으로 관련되어 있는 상황을 의미한다.

${\displaystyle X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}}$

실제로 우리는 데이터 세트에서 완벽한 다중공선성에 거의 직면하지 않는다. 더 일반적으로, 다중공선성 문제는 두 개 이상의 독립 변수 사이에 "강한 선형 관계"가 있을 때 발생하며, 이는 다음을 의미한다.

${\displaystyle X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}}$

여기서 ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$의 분산은 상대적으로 작다.

횡적 공선성 개념은 이러한 전통적인 관점을 확장하며, 설명 변수와 기준 (즉, 설명된) 변수 사이의 공선성을 의미한다.^[10]

다른 분야에서의 사용

안테나 배열

네 개의 공선 방향 배열을 가진 안테나 마스트.

전기통신에서, 공선 (또는 co-linear) 안테나 배열은 다이폴 안테나들의 배열로, 각 안테나의 해당 요소들이 평행하고 정렬되어, 즉 공통 선 또는 축을 따라 위치하도록 장착된 것이다.

사진술

공선성 방정식은 사진측량 및 컴퓨터 스테레오 비전에서 사용되는 두 개의 방정식 세트로, 이미지 (센서) 평면의 좌표(2차원)를 객체 좌표(3차원)와 관련시킨다. 사진술 설정에서, 이 방정식들은 객체의 점이 카메라의 광학 중심을 통해 이미지(센서) 평면의 이미지로 중심 사영되는 것을 고려하여 도출된다. 세 점, 객체 점, 이미지 점, 그리고 광학 중심은 항상 공선적이다. 이를 다르게 표현하면, 객체 점과 그 이미지 점을 연결하는 선분들은 모두 광학 중심에서 공점적이라는 것이다.^[11]

같이 보기

• 동원점
• 공면점
• 방향
• 입사 (기하학)#공선성
• 노 쓰리 인 라인 문제
• 파푸스의 육각형 정리