케일리-멩거 행렬식

수학에서 케일리-멩거 행렬식(-行列式, 영어: Cayley–Menger determinant)은 단체의 초부피를 나타내는 데 쓰이는 행렬식이다.

정의

음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle n}$번째 케일리-멩거 행렬식 ${\displaystyle M_{n}}$은 다음과 같은 ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$ 행렬식으로 나타낸 ${\displaystyle \textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$변수 다항식이다.^[1]:71

${\displaystyle M_{n}(x_{ij}\colon 0\leq i<j\leq n)={\begin{vmatrix}0&1&1&1&\cdots &1\\1&0&x_{01}^{2}&x_{02}^{2}&\cdots &x_{0n}^{2}\\1&x_{01}^{2}&0&x_{12}^{2}&\cdots &x_{1n}^{2}\\1&x_{02}^{2}&x_{12}^{2}&0&\cdots &x_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&x_{0n}^{2}&x_{1n}^{2}&x_{2n}&\cdots &0\end{vmatrix}}}$

성질

케일리-멩거 행렬식 ${\displaystyle M_{n}}$은 대칭 다항식이다. 즉, 변수의 순열에 대하여 불변이다.

표수가 2가 아닌 체 위에서, 케일리-멩거 행렬식 ${\displaystyle M_{n}}$는 ${\displaystyle 2n}$차 동차 다항식이다.^[2]:339-340

표수가 2가 아닌 체 위에서, 케일리-멩거 행렬식 ${\displaystyle M_{n}}$이 기약 다항식일 필요충분조건은 ${\displaystyle n\neq 2}$이다.^[2]:339-340

꼭짓점 ${\displaystyle v_{0},\dots ,v_{n}}$를 갖는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 속 ${\displaystyle n}$차원 단체 ${\displaystyle S}$의 ${\displaystyle n}$차원 초부피 ${\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(S)}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(S)^{2}={\frac {(-1)^{n+1}}{2^{n}(n!)^{2}}}M_{n}(\Vert v_{i}-v_{j}\Vert \colon 0\leq i<j\leq n)}$

우변의 계수의 ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$번째 값은 다음과 같다.

-1, 2, -16, 288, -9216, 460800, ... (OEIS의 수열 A055546)

역사

아서 케일리와 카를 멩거의 이름을 땄다.

같이 보기

• 유클리드 공간
• 단체 (수학)
• 헤론 공식