군의 확대

군론에서 군의 확대(群-擴大, 영어: group extension)는 군을 정규 부분군과 몫군으로 나타내는 방법이다.

정의

군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다고 하자.

${\displaystyle 1\rightarrow N{\xrightarrow {\iota }}G{\xrightarrow {\pi }}Q\rightarrow 1}$

즉,

${\displaystyle G/\iota (N)\cong Q}$

이다. 그렇다면 ${\displaystyle G}$를 ${\displaystyle N}$에 의한 ${\displaystyle Q}$의 확대(영어: extension of Q by N)라고 한다.

만약 ${\displaystyle N}$이 ${\displaystyle G}$의 중심의 부분군이라면, 즉

${\displaystyle \iota (N)\subset Z(G)}$

이라면 이를 중심 확대(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다.

${\displaystyle N}$의 ${\displaystyle Q}$로의 두 확대

${\displaystyle 1\to N{\xrightarrow {\iota }}G{\xrightarrow {\pi }}Q\to 1}$

${\displaystyle 1\to N{\xrightarrow {\iota '}}G'{\xrightarrow {\pi '}}Q\to 1}$

에 대하여, 만약 다음 그림

${\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &N&{\xrightarrow {\iota }}&G&{\xrightarrow {\pi }}&Q&\to &1\\&&\|&&{\scriptstyle \phi }\downarrow \!{\wr }&&\|\\1&\to &N&{\xrightarrow[{\iota '}]{}}&G'&{\xrightarrow[{\pi '}]{}}&Q&\to &1\end{matrix}}}$

을 가환하게 하는 군 동형 ${\displaystyle \phi \colon G\to G'}$이 존재한다면, ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle G'}$을 서로 동형인 확대라고 한다.

분류

군의 확대들의 동형류들은 2차 군 코호몰로지에 의하여 분류된다.

아벨 군의 범주 속에서의 확대

${\displaystyle N}$과 ${\displaystyle Q}$가 아벨 군이며, 확대된 군 ${\displaystyle G}$ 역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 Ext 함자에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 아벨 군의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)}$

과 표준적으로 일대일 대응한다.

아벨 정칙 부분군의 경우

${\displaystyle N}$이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle N}$의 ${\displaystyle Q}$에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다.

${\displaystyle \bigsqcup _{\phi \in \hom(Q,\operatorname {Aut} N)}\operatorname {H} _{\phi }^{2}(Q,N)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {H} _{\phi }^{2}(Q,N)}$은 ${\displaystyle N}$을 작용 ${\displaystyle \phi }$를 갖춘 ${\displaystyle Q}$-가군으로 보았을 때의 2차 군 코호몰로지이다. 즉, 군의 확대 ${\displaystyle N\to G\to Q}$가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형

${\displaystyle \phi \colon Q\to \operatorname {Aut} N}$

${\displaystyle \phi \colon q\mapsto (n\mapsto qnq^{-1})}$

이 유도되는데, 주어진 준동형 ${\displaystyle \phi }$에 대응하는 확대들은 2차 군 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} _{\phi }^{2}(Q,N)}$과 표준적으로 대응한다. 이는 반직접곱 ${\displaystyle N\rtimes _{\phi }Q}$가 표준적인 밑점(영어: basepoint)을 제공하기 때문이다.

특히, ${\displaystyle Q}$의 아벨 군 ${\displaystyle N}$에 대한 중심 확대는 자명한 작용 ${\displaystyle q\cdot n=n\;\forall q\in Q,n\in N}$에 대응하며, 중심 확대는 자명한 ${\displaystyle Q}$-가군 계수의 2차 군 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(Q,N)}$와 표준적으로 일대일 대응한다.

무중심 정칙 부분군의 경우

${\displaystyle N}$의 중심이 자명군일 경우, ${\displaystyle N}$의 ${\displaystyle Q}$에 대한 확대의 동형류들은 군 준동형

${\displaystyle Q\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N}$

과 일대일 대응한다.^{[1]:106, Corollary 6.8; Exercise 6.1} 이는 가환 그림

${\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &Q&\to &1\\&&\|&&\downarrow \scriptstyle \phi ^{*}&&\downarrow \scriptstyle \phi \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\hookrightarrow &\operatorname {Aut} N&\twoheadrightarrow &\operatorname {Out} N&\to &1\end{matrix}}}$

에서, ${\displaystyle \phi ^{*}\colon G\to \operatorname {Aut} N}$이 ${\displaystyle \phi \colon Q\to \operatorname {Out} N}$으로부터 완전히 결정되기 때문이다. 특히, ${\displaystyle N}$이 자명한 중심을 갖고, 또한 외부자기동형군 역시 자명하다면, ${\displaystyle N}$의 모든 확대는 직접곱이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 완비군(完備群, 영어: complete group)이라고 한다.

외부 자기 동형을 갖지 않는 정칙 부분군의 경우

만약 ${\displaystyle \operatorname {Out} N}$이 자명군이라면, 준동형 ${\displaystyle Q\to \operatorname {Out} N}$은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대들은 2차 군 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))}$와 표준적으로 일대일 대응하며, ${\displaystyle 0\in \operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))}$은 직접곱 ${\displaystyle N\times Q}$에 대응한다.

구체적으로,

${\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Z} (N)&\hookrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)&\twoheadrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)/\operatorname {Z} (N)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \!\wr \\1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &Q&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\cong &\operatorname {Aut} N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}}$

이므로, 짧은 완전열

${\displaystyle 1\to \operatorname {Z} (N)\to \operatorname {C} _{G}(N)\to Q\to 1}$

이 존재한다. ${\displaystyle \operatorname {Z} (N)}$이 아벨 군이며, ${\displaystyle \operatorname {Z} (N)}$의 ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(N)}$에 대한 작용은 자명하므로 가능한 ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(N)}$들은 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(Q,\operatorname {Z} (N))}$과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진 ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(N)}$에 대하여 ${\displaystyle G}$는 짧은 완전열

${\displaystyle 1\to \operatorname {C} _{G}(N)\to G\to \operatorname {Aut} N\to 1}$

에서 유일하게 결정된다.

일반적 정칙 부분군의 경우

일반적인 ${\displaystyle N}$의 경우, 군의 확대의 동형류들은 여전히 2차 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점(영어: basepoint)이 유일하지 않으므로 이 대응은 더 이상 표준적이지 않다.

구체적으로, 확대

${\displaystyle 1\to N\to G\to Q\to 1}$

가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형

${\displaystyle Q\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N}$

이 존재한다. 임의의 준동형 ${\displaystyle \phi \colon Q\to \operatorname {Out} N}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:105, Theorem 6.7}

• ${\displaystyle \phi }$를 유도하는 군의 확대 ${\displaystyle G}$가 존재한다.
• 어떤 특정한 ${\displaystyle \theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )\in \operatorname {H} _{\phi }^{3}(Q,\operatorname {Z} (N))}$에 대하여, ${\displaystyle \theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )=0}$이다.

즉, ${\displaystyle \phi }$를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다.

만약 위 조건이 성립한다면, ${\displaystyle \phi }$를 통한 임의의 두 확대 ${\displaystyle G,G'}$에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로 ${\displaystyle \operatorname {H} _{\phi }^{2}(G,\operatorname {Z} (N))}$과 일대일 대응시킬 수 있다.^{[1]:105, Theorem 6.6} 즉, ${\displaystyle \phi }$를 통한 확대들은 ${\displaystyle \operatorname {H} _{\phi }^{2}(G,\operatorname {Z} (N))}$과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만, ${\displaystyle \phi }$가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대 ${\displaystyle G=N\times Q}$를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다.

구체적으로, 이 걸림돌 ${\displaystyle \theta (Q,\operatorname {Z} (N),\phi )}$는 다음과 같다.^{[1]:105, Theorem 6.7} 완전열

${\displaystyle 1\to \operatorname {Z} (N)\to N\to \operatorname {Aut} N\to \operatorname {Out} N\to 1}$

에 의하여, 원소

${\displaystyle u\in \operatorname {H} ^{3}(\operatorname {Out} N,\operatorname {Z} (N))}$

가 주어진다. 또한, 군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon Q\to \operatorname {Out} N}$에 의하여, 코호몰로지 군 사이의 준동형

${\displaystyle \phi ^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Out} ,\operatorname {Z} (N))\to \operatorname {H} ^{\bullet }(Q,\operatorname {Z} (N))}$

이 주어진다. 그렇다면

${\displaystyle \theta =\phi ^{*}u}$

이다.

같이 보기

• 군 코호몰로지
• Ext 함자
• 반직접곱
• 짧은 완전열
• 체의 확대