군 코호몰로지

군론에서 군 코호몰로지(群cohomology, 영어: group cohomology)와 군 호몰로지(群homology, 영어: group homology)는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다.^[1][2][3]

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 군 ${\displaystyle G}$. 이로부터 군환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$를 정의할 수 있다.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-왼쪽 가군 ${\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}M}$

임의의 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle M}$계수 ${\displaystyle n}$차 군 호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} _{n}(G;M)}$ 및 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle M}$계수 ${\displaystyle n}$차 군 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)}$는 각각 아벨 군이다. 이들은 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.

• 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자 및 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수 있다.
• 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 특별한 Ext 함자 및 Tor 함자로서 정의될 수 있다.
• 군 (코)호몰로지는 구체적인 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로서 정의될 수 있다.

유도 함자를 통한 정의

군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의될 수 있다.

구체적으로, 군 ${\displaystyle G}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$의 왼쪽 가군들의 범주 ${\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}}$는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.

다음과 같은 함자를 정의하자.

${\displaystyle (-)^{G}\colon {}_{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}\to \operatorname {Ab} }$

${\displaystyle (-)^{G}\colon M\mapsto M^{G}=\bigcap _{g\in G}\ker _{M}(1-g)=\{m\in M\colon \forall g\in M\colon m=gm\}}$

즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.

${\displaystyle (-)^{G}}$는 왼쪽 완전 함자이다. 그 ${\displaystyle n}$번째 오른쪽 유도 함자를 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle n}$차 군 코호몰로지라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;-)=\operatorname {R} ^{n}(-)^{G}}$

마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.

${\displaystyle (-)_{G}\colon {}_{\mathbb {Z} [G]}{\text{Mod}}\to \operatorname {Ab} }$

${\displaystyle (-)_{G}\colon M\mapsto {\frac {M}{\operatorname {D} (M)}}}$

여기서

${\displaystyle \operatorname {D} (M)=\sum _{g\in G}(1-g)M\subseteq M}$

이다. 즉, ${\displaystyle M_{G}}$는 ${\displaystyle M}$의 쌍대 불변량(영어: coinvariant)으로 구성된다.

${\displaystyle (-)_{G}}$는 오른쪽 완전 함자이다. 그 ${\displaystyle n}$번째 왼쪽 유도 함자를 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle n}$차 군 호몰로지라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{n}(G;-)=\operatorname {L} ^{n}(-)_{G}}$

Ext와 Tor를 통한 정의

군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.

구체적으로, 군 ${\displaystyle G}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-왼쪽 가군 ${\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$를 자명한 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 ${\displaystyle g\in G}$ 및 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$에 대하여 ${\displaystyle g\cdot n=n}$이다.) 그렇다면, ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-왼쪽 가군의 범주 ${\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}\operatorname {Mod} }$에서 Ext 함자를 취할 수 있다. ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle M}$ 계수의 군 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)}$

마찬가지로, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$를 자명한 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 ${\displaystyle g\in G}$ 및 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$에 대하여 ${\displaystyle n\cdot g=n}$이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\mathbb {Z} [G]}}$와 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}M}$ 사이의 Tor 함자를 취할 수 있다. ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle M}$ 계수의 군 호몰로지는 다음과 같은 Tor 함자이다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{n}(G;M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$

군 코호몰로지의 구체적 정의

${\displaystyle G}$가 군이고 ${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-가군이라고 하자. 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle n}$차 공사슬(共사슬, 영어: cochain)을 ${\displaystyle G^{n}\to M}$ 함수로 정의하고, ${\displaystyle n}$차 공사슬의 집합을 ${\displaystyle C^{n}(G,M)}$으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 ${\displaystyle G^{n}}$은 군의 직접곱 ${\displaystyle G\times G\times \dotsb \times G}$이다.)

공경계 준동형(共境界準同形, 영어: coboundary homomorphism) ${\displaystyle d^{n}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)}$을 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \left(d^{n}\varphi \right)(g_{0},\dots ,g_{n})=g_{0}\cdot \varphi (g_{1},\dots ,g_{n})}$

${\displaystyle {}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi (g_{0},\dots ,g_{i-2},g_{i-1}g_{i},g_{i+1},\dots ,g_{n})}$

${\displaystyle {}+(-1)^{n+1}\varphi (g_{0},\dots ,g_{n-1})}$

이렇게 정의하면

${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0}$

임을 알 수 있다. 따라서 ${\displaystyle C^{n}}$은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라

${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)={\frac {\ker d^{n}}{\operatorname {im} d^{n-1}}}}$

과 같이 코호몰로지 군 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(G;M)}$을 정의할 수 있다. 이를 ${\displaystyle M}$계수를 가진 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle n}$차 군 코호몰로지라고 한다.

군 호몰로지의 구체적 정의

${\displaystyle G}$가 군이고 ${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-왼쪽 가군이라고 하자.

양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle n}$차 사슬(영어: cochain)의 집합은 ${\displaystyle C_{n}(G;M)=\mathbb {Z} [G^{\times n}]\otimes _{\mathbb {Z} }M}$ 이다.

그 사이에 다음과 같은 경계 준동형(境界準同形, 영어: boundary homomorphism)을 정의하자.

${\displaystyle \partial \colon (g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{n},m)\mapsto (g_{2},\dotsc ,g_{n},m)+\sum _{i=1}^{n-1}(-)^{i}(g_{1},\dotsc ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},g_{i+2},\dotsc ,g_{n},m)+(-)^{n}(g_{1},\dotsc ,g_{n-1},g_{n}m)}$

그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.

${\displaystyle \dotsb {\xrightarrow {\partial }}C_{2}(G;M){\xrightarrow {\partial }}C_{1}(G;M){\xrightarrow {\partial }}C_{0}(G;M)\to 0}$

(이는 막대 복합체 ${\displaystyle \operatorname {Bar} _{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],M)}$과 같다.) 그 호몰로지 군

${\displaystyle \operatorname {H} _{n}(G;M)={\frac {\ker \partial _{n}}{\operatorname {im} \partial _{n+1}}}}$

을 ${\displaystyle M}$계수를 가진 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle n}$차 군 호몰로지라고 한다.

구체적 정의의 유도

구체적 정의는 Ext · Tor를 사용한 정의로부터 다음과 같이 유도된다.

우선, 아벨 군의 아벨 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} =\operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} }}$에서, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-결합 대수 (즉, 환) ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{\mathbb {Z} [G]}\mathbb {Z} }$ 및 오른쪽 가군 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]_{\mathbb {Z} [G]}}$를 생각하자. 그렇다면, 물론

${\displaystyle \mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} }$

이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자.

${\displaystyle \operatorname {Bar} _{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )=\overbrace {\mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} }\dotsb \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [G]} ^{n+1}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} [\overbrace {G\times \dotsb \times G} ^{n}]}$

그렇다면,

${\displaystyle \dotsb {\xrightarrow {\partial }}\mathbb {Z} [G\times G]{\xrightarrow {\partial }}\mathbb {Z} [G]\twoheadrightarrow \mathbb {Z} }$

는 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 분해를 이룬다.

막대 복합체의 모든 성분들은 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-사영 가군이므로, 막대 복합체 ${\displaystyle \operatorname {Bar} (\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)}$은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다.

${\displaystyle 0\to \hom _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],M)\to \hom _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G\times G],M)\to \dotsb }$

그런데 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}]}$은 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

${\displaystyle \hom _{\operatorname {Set} }(G^{\times n},M)\to \hom _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}],M)}$

여기서 ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Set} }(G^{\times n},M)}$은 모든 함수 ${\displaystyle G^{n}\to M}$의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 ${\displaystyle n}$차 공사슬의 집합과 같다.

마찬가지로, Tor 함자 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{\bullet }^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$은 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\mathbb {Z} [G]}}$의 사영 분해 ${\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} [G])}$를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체

${\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],M)}$

의 호몰로지로 계산된다.

${\displaystyle \dotsb \to \mathbb {Z} [G^{\times 3}]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} [G^{\times 2}]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\cong M}$

그런데

${\displaystyle \mathbb {Z} [G^{\times (n+1)}]\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\cong \mathbb {Z} [G^{\times n}]\otimes _{\mathbb {Z} }M}$

이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 ${\displaystyle n}$차 사슬의 집합과 같다.

성질

낮은 차수의 군 (코)호몰로지

군 코호몰로지의 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

${\displaystyle C^{0}(G;M)=M}$

${\displaystyle C^{1}(G;M)=\hom _{\operatorname {Set} }(G,M)}$

${\displaystyle C^{2}(G;M)=\hom _{\operatorname {Set} }(G\times G,M)}$

${\displaystyle \mathrm {d} ^{0}(m)\colon g\mapsto gm-m\qquad (m\in M,\;g\in G)}$

${\displaystyle \mathrm {d} ^{1}(\phi )\colon (g,h)\mapsto g\phi (h)-\phi (gh)+\phi (g)\qquad (g,h\in G,\;\phi \in \hom _{\operatorname {Set} }(G,M))}$

마찬가지로, 군 호몰로지의 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

${\displaystyle C_{0}(G;M)=M}$

${\displaystyle C_{1}(G;M)=\mathbb {Z} [G]\otimes _{\mathbb {Z} }M}$

${\displaystyle C_{2}(G;M)=\mathbb {Z} [G\times G]\otimes _{\mathbb {Z} }}$

${\displaystyle \partial _{0}\colon C_{1}(G;M)\to C_{0}(G;M)}$

${\displaystyle \partial _{1}\colon (g,m)\mapsto m-gm}$

${\displaystyle \partial _{2}\colon (g,h,m)\mapsto (h,m)-(gh,m)+(g,hm)}$

이에 따라, 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 다음과 같이 해석된다. (마지막 열은 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle M}$ 위의 작용이 자명할 경우에 대한 특별한 해석이다.)

공사슬 종류	기호	해석	자명한 작용일 경우의 해석
0차 완전 공사슬	${\displaystyle \operatorname {im} \mathrm {d} _{-1}}$	${\displaystyle 0\in M}$
0차 닫힌 사슬	${\displaystyle \ker \partial _{0}}$	임의의 원소 ${\displaystyle m\in M}$
0차 닫힌 공사슬	${\displaystyle \ker \mathrm {d} _{0}}$	불변량: ${\displaystyle m\in M}$ 가운데, 임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여 ${\displaystyle gm=m}$인 것	임의의 원소 ${\displaystyle m\in M}$
0차 완전 사슬	${\displaystyle \operatorname {im} \partial _{1}}$
1차 닫힌 공사슬	${\displaystyle \ker \mathrm {d} _{1}}$	교차 준동형(영어: crossed homomorphism): 함수 ${\displaystyle \phi \colon G\to M}$ 가운데, ${\displaystyle \phi (gh)=\phi (g)+g\phi (h)}$인 것	군 준동형 ${\displaystyle (G,\cdot )\to (M,+)}$
1차 완전 공사슬	${\displaystyle \operatorname {im} \mathrm {d} _{0}}$	주 교차 준동형(영어: principal crossed homomorphism, ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, ${\displaystyle g\mapsto (g-1)m}$ 꼴의 교차 준동형)들의 선형 결합	상수 함수 ${\displaystyle g\mapsto 0}$
1차 닫힌 사슬	${\displaystyle \ker \partial _{1}}$	선형 결합 ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}\alpha _{i}(g_{i},m)}$ 가운데, ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}\alpha _{i}g_{i}m_{i}=\sum _{i}\alpha _{i}m_{i}}$인 것	선형 결합 ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}\alpha _{i}(g_{i},m)}$
1차 완전 사슬	${\displaystyle \operatorname {im} \partial _{2}}$	${\displaystyle (h,m)-(gh,m)+(g,hm)}$ 꼴의 선형 결합들의 합 (${\displaystyle g,h\in G,\;m\in M}$)	${\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }\{g+h-gh\colon g,h\in G\}\otimes _{\mathbb {Z} }M}$의 원소

특히, 만약 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle M}$ 위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(G;M)=M}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(G;M)=0}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(G;M)=\hom _{\operatorname {Grp} }(G,M)}$

2차 군 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(G;M)}$는 군 ${\displaystyle (G,\cdot )}$의 아벨 군 ${\displaystyle (M,+)}$에 대한 확대들을 분류한다.

위상 코호몰로지와의 관계

만약 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle M}$ 위의 작용이 자명하다면, 군 호몰로지와 군 코호몰로지는 각각 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 ${\displaystyle \mathrm {B} G}$의 특이 호몰로지 및 특이 코호몰로지와 동형이다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{k}(G;M)=\operatorname {H} _{k}^{\text{sing}}(\mathrm {B} G;M)}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(G;M)=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{k}(\mathrm {B} G;M)}$

증명:

${\displaystyle G}$의 분류 공간은 단체 집합 ${\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Set} }(1,G,1)}$이다. 그 정수 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체

${\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )}$

로 주어지며, ${\displaystyle M}$계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체

${\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }M}$

으로 주어진다. 그런데 이는 군 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체와 같다.

마찬가지로, 분류 공간 ${\displaystyle \operatorname {B} G}$의 ${\displaystyle M}$계수 단체 코호몰로지는 공사슬 복합체

${\displaystyle \hom _{\mathbb {Z} }\left(\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} ),M\right)}$,

로 주어진다. 그런데 이는 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle M}$계수 군 코호몰로지와 같다.

보다 일반적으로, 만약 ${\displaystyle G}$의 작용이 자명하지 않다면, ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle \mathrm {B} G}$ 위의 일종의 층 ${\displaystyle {\underline {M}}}$을 정의하며, 이 층의 층 (코)호몰로지는 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle M}$계수 군 (코)호몰로지와 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G;M)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;{\underline {M}})}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(G;M)\cong \operatorname {H} _{\bullet }(\mathrm {B} G;{\underline {M}})}$

예

자유군

${\displaystyle k}$개의 원소로 생성되는 자유군 ${\displaystyle F_{k}}$을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 ${\displaystyle M}$에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(F_{k};M)=\operatorname {H} _{n}(F_{k};M)={\begin{cases}M&n=0\\M^{\oplus k}&n=1\\0&n>1\end{cases}}}$

순환군

${\displaystyle k}$차 순환군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (k)}$을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 ${\displaystyle M}$에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(\operatorname {Cyc} (k);M)=\operatorname {H} _{n}(\operatorname {Cyc} (k);M)={\begin{cases}M&n=0\\(\ker n)\subseteq M&2\nmid n\\M/nM&2\mid n>0\\\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle \ker n=\{m\in M\colon nm=0\}}$은 ${\displaystyle M}$의 ${\displaystyle n}$-꼬임 부분군이다.

이는 순환군의 분류 공간인 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\infty }/\operatorname {Cyc} (k)}$의 특이 호몰로지와 같다. 특히, ${\displaystyle k=2}$일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 ${\displaystyle \operatorname {RP} ^{\infty }}$의 특이 호몰로지이다.

자유 아벨 군

${\displaystyle k}$차 자유 아벨 군 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus k}}$을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 ${\displaystyle M}$에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(\mathbb {Z} ^{\oplus k};M)=\operatorname {H} _{n}(\mathbb {Z} ^{\oplus k};M)=M^{\oplus {\binom {k}{n}}}}$

여기서 ${\displaystyle \textstyle {\binom {k}{n}}}$은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{k}}$의 특이 호몰로지와 같다.

같이 보기

• 포스트니코프 탑

참고 문헌

• Isaksen, Daniel C. (2002년 11월). “A cohomological viewpoint on elementary school arithmetic” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 109 (9): 796–805. doi:10.2307/3072368. ISSN 0002-9890. JSTOR 3072368. MR 1933702. Zbl 1026.20029. 2014년 1월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 1월 16일에 확인함.