기하학적 변환

수학에서 기하학적 변환(geometric transformation)은 거리를 보존하거나, 각도를 보존하거나, 비율(축척)을 보존하는 등 현저한 기하학적 근거를 가지고 있는 집합 자체(또는 다른 유사한 집합)의 모든 전단사 함수를 말한다. 더 구체적으로, 정의역과 치역이 점의 집합(대부분 실수 좌표 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 또는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$)인 함수이며, 그 함수는 역함수가 존재하도록 전단사 함수이다.^[1] 기하학 연구는 변환기하학에서와 같이 이러한 변환 연구를 통해 접근할 수 있다.^[2]

분류

기하학적 변환은 피연산자 집합의 차원에 따라 분류할 수 있다(따라서 평면 변환과 공간 변환을 구분한다). 또한 보존하는 속성에 따라 분류할 수도 있다.

• 변위는 거리와 방향 각도를 보존한다(예: 평행 이동);^[3]
• 등거리 변환은 각도와 거리를 보존한다(예: 유클리드 변환);^[4][5]
• 닮음은 각도와 거리 사이의 비율을 보존한다(예: 크기 조정);^[6]
• 아핀 변환은 평행성을 보존한다(예: 스케일링, 전단);^[5][7]
• 사영 변환은 공선성을 보존한다;^[8]

이러한 각 클래스는 이전 클래스를 포함한다.^[8]

• 평면에서 복소 좌표를 사용하는 뫼비우스 변환 (및 원 반전)은 모든 선과 원의 집합을 보존하지만, 선과 원을 서로 바꿀 수 있다.

• 
  원본 이미지 (프랑스 지도 기반)
• 
  등거리변환
• 
  닮음
• 
  아핀 변환
• 
  사영 변환
• 
  반전

• 등각 변환은 각도를 보존하며, 1차적으로는 닮음이다.
• 등적 변환은 평면의 경우 면적을, 3차원의 경우 부피를 보존한다.^[9] 그리고 1차적으로 행렬식이 1인 아핀 변환이다.
• 위상동형 (쌍연속 변환)은 점의 근방을 보존한다.
• 미분동형 (쌍미분 변환)은 1차적으로 아핀 변환이다. 이것은 이전 변환들을 특수한 경우로 포함하며, 더 세분화될 수 있다.

• 
  등각 변환
• 
  등적 변환
• 
  위상동형사상
• 
  미분동형사상

같은 유형의 변환은 다른 변환 군의 부분 군이 될 수 있는 군을 형성한다.

반대 군 작용

 이 부분의 본문은 군의 작용 및 반대군입니다.

많은 기하학적 변환은 선형대수로 표현된다. 전단사 선형 변환은 일반선형군의 요소이다. 선형 변환 A는 비특이적이다. 행 벡터 v의 경우, 행렬곱 vA는 또 다른 행 벡터 w = vA를 생성한다.

행 벡터 v의 전치는 열 벡터 v^T이고, 위 등식의 전치는 ${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$ 이다. 여기서 A^T는 열 벡터에 대한 왼쪽 작용을 제공한다.

변환 기하학에는 합성 AB가 있다. 행 벡터 v에서 시작하여 합성 변환의 오른쪽 작용은 w = vAB이다. 전치 후,

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

따라서 AB에 대한 관련 왼쪽 군의 작용은 ${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$ 이다. 반대군 연구에서는 이러한 반대가 동일한 유일한 군이 교환군이기 때문에 반대 군 작용을 구별한다.

능동적 및 수동적 변환

 이 부분의 본문은 능동적 및 수동적 변환입니다.

같이 보기

• 좌표 변환
• 에를랑겐 프로그램
• 대칭 (기하학)
• 운동
• 반사 (기하학)
• 강체 변환
• 회전 (기하학)
• 위상수학
• 변환행렬