다변량 안정 분포

다변량 안정 분포(영어: multivariate stable distribution)는 단변량 안정 분포의 다변량 일반화인 다변량 확률 분포이다. 다변량 안정 분포는 안정 분포 주변 분포 간의 선형 관계를 정의한다. 단변량의 경우와 마찬가지로, 이 분포는 특성 함수를 사용하여 정의된다.

다변량 안정

[[확률 {{{종류}}} 함수]]
α = 1.1인 다변량(이변량) 안정 분포를 보여주는 히트맵
매개변수	${\displaystyle \alpha \in (0,2]}$ – 지수 ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{d}}$ – 이동/위치 벡터 ${\displaystyle \Lambda }$ – 구에 대한 스펙트럼 유한 측정
지지집합	${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{d}}$
확률 밀도	(해석적 표현 없음)
누적 분포	(해석적 표현 없음)
분산	${\displaystyle \alpha <2}$일 때 무한

다변량 안정 분포는 다변량 정규분포의 확장으로 생각할 수도 있다. 이 분포는 0 < α ≤ 2 범위에서 정의되는 매개변수 α를 가지며, α = 2일 때는 다변량 정규분포와 동일하다. 비대칭 분포를 허용하는 추가적인 왜도 매개변수를 가지는데, 다변량 정규분포는 대칭이다.

정의

${\displaystyle \mathbb {S} }$를 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$의 유클리드 단위 구, 즉 ${\displaystyle \mathbb {S} =\{u\in \mathbb {R} ^{d}\colon |u|=1\}}$이라고 하자. 확률 벡터 ${\displaystyle X}$는 다변량 안정 분포—${\displaystyle X\sim S(\alpha ,\Lambda ,\delta )}$로 표기됨—를 가지며, ${\displaystyle X}$의 결합 특성 함수는 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} \exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\int \limits _{\mathbb {S} }\left\{|u^{T}s|^{\alpha }+i\nu (u^{T}s,\alpha )\right\}\,\Lambda (ds)+iu^{T}\delta \right\}}$,

여기서 0 < α < 2이고, ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$에 대해

${\displaystyle \nu (y,\alpha )={\begin{cases}-\operatorname {sign} (y)\tan(\pi \alpha /2)|y|^{\alpha }&\alpha \neq 1,\\(2/\pi )y\ln |y|&\alpha =1.\end{cases}}}$

이것은 본질적으로 펠트하임(Feldheim)의 결과이며,^[2] 어떤 안정 확률 벡터도 스펙트럼 측정 ${\displaystyle \Lambda }$ (구 ${\displaystyle \mathbb {S} }$에 대한 유한 측정)와 이동 벡터 ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{d}}$로 특징화될 수 있다는 것이다.

사영을 이용한 매개변수화

안정 확률 벡터를 설명하는 또 다른 방법은 사영을 이용하는 것이다. 어떤 벡터 ${\displaystyle u}$에 대해서도 사영 ${\displaystyle u^{T}X}$는 어떤 왜도 ${\displaystyle \beta (u)}$, 척도 ${\displaystyle \gamma (u)}$, 그리고 어떤 이동 ${\displaystyle \delta (u)}$를 가진 단변량 ${\displaystyle \alpha }$-안정이다. ${\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )}$ 표기는 X가 ${\displaystyle u^{T}X\sim s(\alpha ,\beta (u),\gamma (u),\delta (u))}$ 모든 ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{d}}$에 대해 안정일 경우 사용된다. 이를 사영 매개변수화라고 한다.

스펙트럼 측정은 사영 매개변수 함수를 다음과 같이 결정한다:

${\displaystyle \gamma (u)={\Bigl (}\int _{\mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\,\Lambda (ds){\Bigr )}^{1/\alpha }}$

${\displaystyle \beta (u)=\gamma (u)^{-\alpha }\int _{\mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\operatorname {sign} (u^{T}s)\,\Lambda (ds)}$

${\displaystyle \delta (u)={\begin{cases}u^{T}\delta &\alpha \neq 1\\u^{T}\delta -\int _{\mathbb {S} }{\frac {\pi }{2}}u^{T}s\ln |u^{T}s|\,\Lambda (ds)&\alpha =1\end{cases}}}$

특수한 경우

다변량 특성 함수가 더 간단한 형태를 취하는 특수한 경우가 있다. 안정 주변 분포의 특성 함수를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \omega (y|\alpha ,\beta )={\begin{cases}|y|^{\alpha }\left[1-i\beta (\tan {\frac {\pi \alpha }{2}})\operatorname {sign} (y)\right]&\alpha \neq 1\\|y|\left[1+i\beta {\tfrac {2}{\pi }}\operatorname {sign} (y)\ln |y|\right]&\alpha =1\end{cases}}}$

등방성 다변량 안정 분포

여기서 특성 함수는 ${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-\gamma _{0}^{\alpha }|u|^{\alpha }+iu^{T}\delta )\}}$이다. 스펙트럼 측정은 구의 균일 분포의 스칼라 배수이며, 이는 방사형/등방성 대칭으로 이어진다.^[3] 가우스의 경우 ${\displaystyle \alpha =2}$일 때는 독립적인 성분과 일치하지만, ${\displaystyle \alpha <2}$일 때는 그렇지 않다. 등방성은 타원성의 특수한 경우이다(다음 단락 참조)—그냥 ${\displaystyle \Sigma }$를 단위 행렬의 배수로 취하면 된다.

타원형 다변량 안정 분포

타원형 다변량 안정 분포는 다변량 안정 분포의 특수한 대칭 경우이다. X는 α-안정이며 타원형인 경우에만 결합 특성 함수를 가진다. ${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)^{\alpha /2}+iu^{T}\delta )\}}$ 이는 어떤 이동 벡터 ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{d}}$ (존재할 경우 평균과 같음)와 어떤 양의 준정부호 행렬 ${\displaystyle \Sigma }$ (상관 관계의 일반적인 정의는 무의미하지만 상관 행렬과 비슷함)에 대해 성립한다. 다변량 정규분포의 특성 함수와의 관계에 주목하라: ${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)+iu^{T}\delta )\}}$, 이는 α = 2일 때 얻어진다.

독립 성분

주변 분포는 ${\displaystyle X_{j}\sim S(\alpha ,\beta _{j},\gamma _{j},\delta _{j})}$일 때 독립이다. 특성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u_{j}|\alpha ,\beta _{j})\gamma _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta \right\}}$.

α = 2일 때 이 함수는 다시 다변량 정규분포로 축소된다는 점을 관찰하라. α < 2일 때는 i.i.d. 경우와 등방성 경우가 일치하지 않는다. 독립 성분은 스펙트럼 측정이 표준 단위 벡터에 의해 지지되는 이산 스펙트럼 측정(다음 단락 참조)의 특수한 경우이다.

α = 1인 다변량(이변량) 독립 안정 분포를 보여주는 히트맵

α = 2인 다변량(이변량) 독립 안정 분포를 보여주는 히트맵

이산

스펙트럼 측정이 ${\displaystyle s_{j}\in \mathbb {S} }$에서 질량 ${\displaystyle \lambda _{j}}$를 가진 이산이라면, ${\displaystyle j=1,\ldots ,m}$, 특성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u^{T}s_{j}|\alpha ,1)\lambda _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta \right\}}$.

선형 속성

${\displaystyle X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))}$가 d차원 ${\displaystyle \alpha }$-안정이고, A가 m × d 행렬이며, ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{m},}$이라면 AX + b는 척도 함수 ${\displaystyle \gamma \circ A^{T}}$, 왜도 함수 ${\displaystyle \beta \circ A^{T}}$, 위치 함수 ${\displaystyle \delta \circ A^{T}+b^{T}}$를 가진 m차원 ${\displaystyle \alpha }$-안정이다.

독립 성분 모델에서의 추론

빅슨(Bickson)과 게스트린(Guestrin)은 독립 성분 모델을 포함하는 선형 모델(또는 동등하게 인자 분석 모델)에서 닫힌 형태로 추론을 계산하는 방법을 보여주었다.^[4]

더 구체적으로, ${\displaystyle X_{i}\sim S(\alpha ,\beta _{x_{i}},\gamma _{x_{i}},\delta _{x_{i}})}$ (${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$)는 안정 분포에서 추출된 미관측 단변량의 i.i.d. 패밀리라고 하자. 크기 ${\displaystyle n\times n}$의 알려진 선형 관계 행렬 A가 주어졌을 때, 관측값 ${\displaystyle Y_{i}=\sum _{i=1}^{n}A_{ij}X_{j}}$는 숨겨진 요인 ${\displaystyle X_{i}}$의 컨볼루션으로 분포된다고 가정되며, 따라서 ${\displaystyle Y_{i}=S(\alpha ,\beta _{y_{i}},\gamma _{y_{i}},\delta _{y_{i}})}$이다. 추론 작업은 선형 관계 행렬 A와 관측값 ${\displaystyle Y_{i}}$가 주어졌을 때 가장 가능성이 높은 ${\displaystyle X_{i}}$를 계산하는 것이다. 이 작업은 ${\displaystyle O(n^{3})}$에서 닫힌 형태로 계산될 수 있다.

이 구성의 응용 프로그램은 안정적이고 비가우스 잡음이 있는 다중 사용자 감지이다.

같이 보기

• 다변량 코시 분포
• 다변량 정규분포

외부 링크

• Mark Veillette's stable distribution matlab package http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
• The plots in this page where plotted using Danny Bickson's inference in linear-stable model Matlab package: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable