단사 함수

수학에서 단사 함수(單射函數, 영어: injection; injective function) 또는 일대일 함수(一對一函數, 영어: one-to-one function)는 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수이다. 공역의 각 원소는 정의역의 원소 중 최대 한 원소의 상이다.^[1]

단사 함수의 예

단사 함수가 아닌 예 (이는 전사 함수이기는 하다).

정의

두 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 단사 함수라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x,x'\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f(x)=f(x')}$이라면, ${\displaystyle x=x'}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle x,x'\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\neq x'}$이라면, ${\displaystyle f(x)\neq f(x')}$이다.
• ${\displaystyle f}$를 그 치역 ${\displaystyle f(X)}$에 국한시킨다면, ${\displaystyle f}$는 정의역 ${\displaystyle X}$와 치역 ${\displaystyle f(X)}$ 사이의 전단사 함수를 정의한다.
• ${\displaystyle f}$는 집합의 범주에서의 단사 사상이다. 즉, 임의의 집합 ${\displaystyle Z}$ 및 함수 ${\displaystyle g_{1},g_{2}\colon Z\to X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}$라면 ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$이다.
• ${\displaystyle f}$는 집합의 범주에서의 분할 단사 사상이다. 즉, ${\displaystyle g\circ f}$가 ${\displaystyle X}$ 위의 항등 함수를 이루는 함수 ${\displaystyle g\colon Y\to X}$가 존재한다.

성질

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$가 주어졌다고 하자.

• 만약 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$가 둘 다 단사 함수라면, ${\displaystyle g\circ f}$ 역시 단사 함수이다.
• 만약 ${\displaystyle g\circ f}$가 단사 함수라면, ${\displaystyle f}$ 역시 단사 함수이다. 하지만 ${\displaystyle g}$가 단사 함수일 필요는 없다.

두 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 단사 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 존재한다.
• ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$이다. 여기서 ${\displaystyle |\cdot |}$는 집합의 크기이다.

정의역의 크기가 0 또는 1인 함수는 항상 단사 함수이다.

예

• 항등 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
• 임의의 집합 ${\displaystyle X}$ 및 그 부분 집합 ${\displaystyle Y\subset X}$에 대하여, 포함 함수 ${\displaystyle Y\to X}$는 단사 함수이다.
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=2x+1}$로 정의된 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
• ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ g(x)=x^{2}}$으로 정의된 함수는 단사 함수가 아니다. 예를 들어 ${\displaystyle g(1)=1=g(-1)}$이다.
  • 그러나, 만약 ${\displaystyle g}$의 정의역을 음이 아닌 실수 ${\displaystyle [0,+\infty )}$로 제한한다면 ${\displaystyle g}$는 단사 함수이다.
• 지수 함수 ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto e^{x}}$는 단사함수이다. (하지만 음수에서의 값이 없으므로 전사 함수가 아니다.)
• 자연 로그 함수 ${\displaystyle \ln \colon (0,+\infty )\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln x}$는 단사 함수이다.

역사

유럽 언어에서 쓰이는 용어 "인젝션"(영어: injection), "앵젝시옹"(프랑스어: injection) 등은 "이니엑티오"(라틴어: iniectiō)에서 유래하였으며, 이는 "인"(라틴어: in, 안에) + "야키오"(라틴어: iaciō, 던지다)에서 기원하였다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

같이 보기

• 전단사 함수
• 전사 함수
• 단사 사상