단조 정규 공간

일반위상수학에서 단조 정규 공간(영어: monotonically normal space)은 서로소 닫힌집합을 분리하는 서로소 열린집합을 단조함수를 통해 고를 수 있는 정규 공간이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$
• ${\displaystyle X}$의 부분 집합의 순서쌍들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)}$

그렇다면, 단조 정규성 연산자(영어: monotone normality operator) ${\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}_{X}}$는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$에 부분 순서 ${\displaystyle (A,B)\leq (A',B')\iff A\subseteq A'\land B\supseteq B'}$를 주었을 때, ${\displaystyle G}$는 단조함수이다.
• ${\displaystyle \forall (A,B)\in {\mathcal {A}}\colon A\subseteq G(A,B)\subseteq \operatorname {cl} G(A,B)\subseteq X\setminus B}$

만약 다음 조건을 추가로 만족시키면, 자기 서로소 단조 정규성 연산자(영어: self-disjoint monotonical normality operator)라고 한다.

${\displaystyle \forall (A,B)\in {\mathcal {A}}\cap {\mathcal {A}}^{-1}\colon G(A,B)\cap G(B,A)=\varnothing }$

단조 정규성 연산자 ${\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}_{X}}$가 주어졌을 때, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}^{-1}}$라면,

${\displaystyle H\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}_{X}}$

${\displaystyle H(E,F)=G(E,F)\setminus \operatorname {cl} G(F,E)}$

는 자기 서로소 단조 정규성 연산자를 이룬다.

다음과 같은 집합들을 정의하자.

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{X}=\{(A,B)\in {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }\colon A\cap \operatorname {cl} B=\operatorname {cl} A\cap B=\varnothing \}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}=\{(E,F)\colon \operatorname {Clsd} (X)\times \operatorname {Clsd} (X)^{\operatorname {op} }\colon E\cap F=\varnothing \}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}=\{(x,F)\in X\times \operatorname {Clsd} (X)^{\operatorname {op} }\colon x\in X\setminus F\}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }}$

그렇다면, 항상 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}}$이며, ${\displaystyle X}$가 T₁ 공간이라면 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}\subseteq {\mathcal {D}}_{X}}$이다.

위상 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$가 다음 조건을 만족시키면, 단조 정규 공간이라고 한다.

• 단조 정규성 연산자 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$가 존재한다.

T₁ 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{[1]:Lemma 2.2}

• 단조 정규성 연산자 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$가 존재한다.
• 단조 정규성 연산자 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$가 존재한다.
• 자기 서로소 단조 정규성 연산자 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$가 존재한다.

증명:

${\displaystyle X}$가 T₁ 공간이므로,

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}\subseteq {\mathcal {D}}_{X}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}}$

이다. 따라서, 만약 ${\displaystyle G\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$가 단조 정규성 연산자라면, ${\displaystyle G\upharpoonright {\mathcal {D}}_{X}\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$ 역시 단조 정규성 연산자이다. 만약 ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$가 자기 서로소 단조 정규성 연산자라면, ${\displaystyle G\upharpoonright {\mathcal {N}}_{X}\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$ 역시 자기 서로소 단조 정규성 연산자이다. 즉, 첫 번째 조건은 두 번재 조건을 함의하며, 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의한다. 이제, 자기 서로소 단조 정규성 연산자

${\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$

가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle H\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$

${\displaystyle H(A,B)=\bigcup _{a\in A}G(a,\operatorname {cl} B)}$

만약

${\displaystyle (A,B),(A',B')\in {\mathcal {S}}_{X}}$

${\displaystyle A\subseteq A'}$

${\displaystyle B\supseteq B'}$

라면, 자명하게 ${\displaystyle H(A,B)\subseteq H(A',B')}$이다. 또한, 임의의 ${\displaystyle (A,B)\in {\mathcal {S}}_{X}}$에 대하여,

${\displaystyle A=\bigcup _{a\in A}\{a\}\subseteq \bigcup _{a\in A}G(a,\operatorname {cl} B)=H(A,B)}$

${\displaystyle B=\bigcup _{b\in B}\{b\}\subseteq \bigcup _{b\in B}G(b,\operatorname {cl} A)=\operatorname {int} \bigcup _{b\in B}G(b,\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {int} (X\setminus H(A,B))=X\setminus \operatorname {cl} H(A,B)}$

${\displaystyle H(A,B)\cap H(B,A)=\bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}(G(a,\operatorname {cl} B)\cap G(b,\operatorname {cl} A))\subseteq \bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}(G(a,b)\cap G(b,a))=\bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}\varnothing =\varnothing }$

이다. 따라서, ${\displaystyle H}$는 단조 정규성 연산자이다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

거리화 가능 공간	→	단조 정규 하우스도르프 공간	→	완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간	→	집합족적 정규 하우스도르프 공간
	↘			↓		↓
		완전 정규 하우스도르프 공간 (T6)	→	완비 정규 하우스도르프 공간 (T5)	→	정규 하우스도르프 공간 (T4)

증명 (거리화 가능 공간 → 단조 정규 하우스도르프 공간):

모든 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$

${\displaystyle G(E,F)=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\in [0,1/2)\right\}}$

그렇다면,

${\displaystyle x\mapsto {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}}$

가 연속 함수 ${\displaystyle X\to [0,1]}$이므로, ${\displaystyle G(E,F)\subseteq X}$는 열린집합이다. 만약

${\displaystyle (E,F),(E',F')\in {\mathcal {D}}_{X}}$

${\displaystyle E\subseteq E'}$

${\displaystyle F\supseteq F'}$

라면,

${\displaystyle \forall x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\geq {\frac {d(x,E')}{d(x,E')+d(x,F')}}}$

이므로,

${\displaystyle G(E,F)\subseteq G(E',F')}$

이다. 또한,

${\displaystyle E=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}=0\right\}\subseteq G(E,F)}$

${\displaystyle F=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}=1\right\}\subseteq \left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\in (1/2,1]\right\}\subseteq X\setminus \operatorname {cl} G(E,F)}$

이다. 즉, ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$는 단조 정규성 연산자이다.

증명 (단조 정규 하우스도르프 공간 → 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간):

단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$ 및 자기 서로소 단조 정규성 연산자

${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$

및 닫힌집합들의 이산 집합족

${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$

${\displaystyle \forall x\in X\exists U\in {\mathcal {T}}_{X}\colon x\in U\land |\{F\in {\mathcal {F}}\colon U\cap F\neq \varnothing \}|<\aleph _{0}}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합들의 서로소 집합족

${\displaystyle \{U(F)\}_{F\in {\mathcal {F}}}\subseteq {\mathcal {T}}_{X}}$

${\displaystyle \forall E\in {\mathcal {F}}\forall F\in {\mathcal {F}}\setminus \{E\}\colon U(E)\cap U(F)=\varnothing }$

${\displaystyle \forall F\in {\mathcal {F}}\colon F\subseteq {\mathcal {U}}(F)}$

을 찾으면 충분하다. 모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, 닫힌집합들의 이산 집합족의 합집합은 닫힌집합이다. 이제, 임의의 ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$에 대하여,

${\displaystyle U(F)=G\left(F,\bigcup {\mathcal {F}}\setminus \{F\}\right)\subseteq X}$

라고 하자. ${\displaystyle G}$의 정의에 따라, ${\displaystyle U(F)}$는 열린집합이며, ${\displaystyle F\subseteq U(F)}$이다. 만약 ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$이며 ${\displaystyle E\neq F}$라면,

${\displaystyle U(E)\cap U(F)\subseteq G(E,F)\cap G(F,E)=\varnothing }$

이다. 즉, ${\displaystyle \{U(F)\}_{F\in {\mathcal {F}}}}$는 서로소 집합족이다.

순서 위상을 갖춘 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.^{[1]:Theorem 5.3}

증명:

임의의 전순서 집합 ${\displaystyle (X,\leq )}$ 위에 순서 위상을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다.

• (T₁) 모든 한원소 집합은 닫힌집합이다.
• (단조 정규성) 자기 서로소 단조 정규성 연산자 ${\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$가 존재한다.

T₁. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여,

${\displaystyle \{x\}=[x,x]=X\setminus \left((-\infty ,x)\cup (x,\infty )\right)}$

이므로 한원소 집합 ${\displaystyle \{x\}}$는 닫힌집합이다.

단조 정규성. 선택 공리와 동치인 정렬 정리에 따라, ${\displaystyle X}$ 위에 임의의 정렬 전순서 ${\displaystyle W}$를 주자. 임의의 닫힌집합 ${\displaystyle F\subseteq X}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X\setminus F}$에 대하여, 다음과 같이 정의하자.

• ${\displaystyle C(x,F)}$는 ${\displaystyle x}$를 포함하는 ${\displaystyle X\setminus F}$의 순서 볼록 성분이다.
• 만약 ${\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing }$이라면, ${\displaystyle a(x,F)=\min \nolimits _{(X,W)}(C(x,F)\cap (-\infty ,x))}$
• 만약 ${\displaystyle C(x,F)\cap (x,\infty )\neq \varnothing }$이라면, ${\displaystyle b(x,F)=\min \nolimits _{(X,W)}(C(x,F)\cap (x,\infty ))}$

이제,

${\displaystyle G(x,F)={\begin{cases}(a(x,F),b(x,F))&C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing \neq C(x,F)\cap (x,\infty )\\(a(x,F),x]&C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )\\{}[x,b(x,F))&C(x,F)\cap (-\infty ,x)=\varnothing \neq C(x,F)\cap (x,\infty )\\\{x\}&C(x,F)\cap (-\infty ,x)=\varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )\end{cases}}}$

라고 하자. ${\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다.

• ${\displaystyle G(x,F)}$는 열린집합이다.
  • ${\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )}$인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) ${\displaystyle x\in X\setminus F}$이며 ${\displaystyle X\setminus F}$가 열린집합이므로, ${\displaystyle x\in (a,b)\subseteq X\setminus F}$인 ${\displaystyle a,b\in X}$가 존재한다. ${\displaystyle (a,b)}$는 ${\displaystyle x}$를 포함하는 순서 볼록 집합이므로, ${\displaystyle (a,b)\subseteq C(x,F)}$이다. ${\displaystyle C(x,F)\cap (x,\infty )=\varnothing }$이므로, ${\displaystyle (x,b)=\varnothing }$이다. 따라서, ${\displaystyle (a(x,F),b)=(a(x,F),x]=G(x,F)}$이다.
• ${\displaystyle x\in G(x,F)}$
  • 이는 자명하다.
• ${\displaystyle \operatorname {cl} G(x,F)\subseteq X\setminus F}$
  • ${\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )}$인 경우를 생각하자. 이 경우, ${\displaystyle \operatorname {cl} G(x,F)=\operatorname {cl} (a(x,F),x]\subseteq [a(x,F),x]\subseteq C(x,F)\subseteq X\setminus F}$이다.
• 만약 ${\displaystyle E,F\subseteq X}$가 닫힌집합이며, ${\displaystyle x\in X\setminus F\subseteq X\setminus E}$라면, ${\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)}$
  • ${\displaystyle C(x,E)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,E)\cap (x,\infty )}$이며 ${\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )}$인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, ${\displaystyle G(x,E)=(a(x,E),x]}$, ${\displaystyle G(x,F)=(a(x,F),x]}$이다. 만약 ${\displaystyle a(x,E)=a(x,F)}$라면, ${\displaystyle G(x,E)=G(x,F)}$이며, 특히 ${\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)}$이다. 이제, ${\displaystyle a(x,E)\neq a(x,F)}$라고 가정하자. ${\displaystyle X\setminus F\subseteq X\setminus E}$이므로, ${\displaystyle C(x,F)\subseteq C(x,E)}$이다. 따라서, ${\displaystyle a(x,E)\leq _{W}a(x,F)}$이며, ${\displaystyle a(x,E)\neq a(x,F)}$이므로 ${\displaystyle a(x,E)<_{W}a(x,F)}$이다. ${\displaystyle a(x,F)}$의 정의에 따라, ${\displaystyle a(x,E)}$는 ${\displaystyle C(x,F)}$의 원소일 수 없다. 따라서, ${\displaystyle a(x,E)<a(x,F)}$이며, ${\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)}$이다.
• 임의의 서로 다른 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle G(x,y)\cap G(y,x)=\varnothing }$
  • ${\displaystyle C(x,y)\cap (-\infty ,x)=\varnothing \neq C(x,y)\cap (x,\infty )}$이며 ${\displaystyle C(y,x)\cap (-\infty ,y)\neq \varnothing =C(y,x)\cap (y,\infty )}$인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, ${\displaystyle G(x,y)=[x,b(x,y))}$, ${\displaystyle G(y,x)=(a(y,x),y]}$이다. 귀류법을 사용하여, ${\displaystyle G(x,y)\cap G(y,x)\neq \varnothing }$이라고 가정하자. ${\displaystyle [x,b(x,y)]\subseteq C(x,y)\subseteq X\setminus \{y\}}$, ${\displaystyle [a(y,x),y]\subseteq C(y,x)\subseteq X\setminus \{x\}}$이므로, ${\displaystyle x<a(y,x)<b(x,y)<y}$일 수밖에 없다. 따라서 ${\displaystyle a(y,x)=\min \nolimits _{(X,W)}(x,y)=b(x,y)}$이며, 이는 모순이다.

연산에 대한 닫힘

단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 반대로, 위상 공간 ${\displaystyle X}$가 단조 정규 하우스도르프 닫힌집합들로 구성된 국소 유한 덮개를 갖는다면, 단조 정규 하우스도르프 공간이다.

증명:

단조 정규 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$ 및 단조 정규성 연산자

${\displaystyle G\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {\mathcal {T}}}_{X}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 대하여,

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{Y}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}}$

이며,

${\displaystyle H\colon {\mathcal {S}}_{Y}\to {\mathcal {T}}_{Y}}$

${\displaystyle H(A,B)=G(A,B)\cap Y}$

는 단조 정규성 연산자이다.

단조 정규 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$ 및 닫힌 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 그 상 ${\displaystyle f(X)}$는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.^{[1]:Theorem 2.6}

증명:

편의상 ${\displaystyle f(X)=Y}$라고 하자. 단조 정규성 연산자

${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$

가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle H\colon {\mathcal {D}}_{Y}\to {\mathcal {T}}_{Y}}$

${\displaystyle H(E,F)=Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))}$

이는 자명하게 단조함수이다.

${\displaystyle f^{-1}(H)\subseteq G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))}$

${\displaystyle f^{-1}(K)\subseteq X\setminus \operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))}$

이므로,

${\displaystyle H\subseteq Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))=H(E,F)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K&\subseteq Y\setminus f(\operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\&=\operatorname {int} (Y\setminus f(\operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))))\\&=\operatorname {int} f(X\setminus G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\&=\operatorname {int} (X\setminus H(E,F))\\&=X\setminus \operatorname {cl} H(E,F)\end{aligned}}}$

이다. 따라서, ${\displaystyle H}$는 단조 정규성 연산자이다.

단조 정규 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X,Y}$ 및 닫힌집합 ${\displaystyle Z\subseteq X}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon Z\to Y}$에 대하여, 붙임 공간 ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.^{[2]:Theorem 1.1}

증명:

다음 두 조건을 보이는 것으로 충분하다.

• ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$는 T₁ 공간이다. 즉, 모든 한원소집합은 닫힌집합이다.
• ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$는 단조 정규 공간이다. 즉, 단조 정규성 연산자 ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X\cup _{f}Y}\to {\mathcal {T}}_{X\cup _{f}Y}}$가 존재한다.

T₁. 표준적인 연속 함수

${\displaystyle g\colon X\to X\cup _{f}Y}$

${\displaystyle h\colon Y\to X\cup _{f}Y}$

를 생각하자. 그렇다면, 부분 집합 ${\displaystyle U\subseteq X\cup _{f}Y}$이 열린집합일 필요충분조건은 ${\displaystyle g^{-1}(U)\subseteq X}$와 ${\displaystyle h^{-1}(U)\subseteq Y}$가 둘 다 열린집합인 것이다. 마찬가지로, 닫힌집합일 필요충분조건은 ${\displaystyle g^{-1}(U)\subseteq X}$와 ${\displaystyle h^{-1}(U)\subseteq Y}$가 둘 다 닫힌집합인 것이다. 또한, ${\displaystyle g\upharpoonright X\setminus Z}$는 열린 위상수학적 매장이며, ${\displaystyle h}$는 닫힌 위상수학적 매장이며,

${\displaystyle g(X\setminus Z)\cup h(Y)=X\cup _{f}Y}$

${\displaystyle g(X\setminus Z)\cap h(Y)=\varnothing }$

이다. (그러나 ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$는 두 상의 분리합공간일 필요가 없다.) 이제, 임의의 ${\displaystyle x\in X\setminus Z}$ 및 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여,

${\displaystyle g^{-1}(g(x))=\{x\}\subseteq X}$

${\displaystyle h^{-1}(g(x))=\varnothing \subseteq Y}$

${\displaystyle g^{-1}(h(y))=f^{-1}(y)\subseteq Z\subseteq X}$

${\displaystyle h^{-1}(h(y))=\{y\}\subseteq Y}$

이다. 따라서, ${\displaystyle g(x)}$와 ${\displaystyle h(y)}$는 닫힌집합이며, ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$는 T₁ 공간이다.

단조 정규성. 단조 정규성 연산자

${\displaystyle G_{1}\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}$

${\displaystyle G_{2}\colon {\mathcal {S}}_{Y}\to {\mathcal {S}}_{Y}}$

가 주어졌다고 하자. 임의의 서로소 닫힌집합 ${\displaystyle E,F\subseteq X\cup _{f}Y}$에 대하여,

${\displaystyle (g^{-1}(E),g^{-1}(F))\in {\mathcal {D}}_{X}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}}$

${\displaystyle (h^{-1}(E),h^{-1}(F))\in {\mathcal {D}}_{Y}\subseteq {\mathcal {S}}_{Y}}$

이다. 이제,

${\displaystyle A(E,F)=g^{-1}(E)\cup f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X}$

${\displaystyle B(E,F)=g^{-1}(F)\cup Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle (A,B)\in {\mathcal {S}}_{X}}$이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))&\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=Z\setminus (Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))&=\operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cap Z\\&=\operatorname {cl} _{Z}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=Z\setminus \operatorname {int} _{Z}f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq X\setminus \operatorname {int} _{Z}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=X\setminus f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}g^{-1}(E)&\subseteq g^{-1}(\operatorname {cl} _{X\cup _{f}Y}E)\\&=g^{-1}(E)\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup (g^{-1}(E)\cap Z)\\&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(E))\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq (X\setminus \operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\cup (X\setminus \operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\\&=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}g^{-1}(F)&\subseteq g^{-1}(\operatorname {cl} _{X\cup _{f}Y}F)\\&=g^{-1}(F)\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup (g^{-1}(F)\cap Z)\\&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(F))\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup f^{-1}(Y\setminus \operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq (X\setminus \operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup (X\setminus \operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=X\setminus \operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\end{aligned}}}$

이제,

${\displaystyle f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))=V(E,F)\cap Z}$

인 열린집합 ${\displaystyle V(E,F)\subseteq X}$을 잡고,

${\displaystyle U(E,F)=G_{1}(A(E,F),B(E,F))\cap (X\setminus Z\cup V(E,F))\subseteq X}$

${\displaystyle G(E,F)=g(U(E,F))\cup h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X\cup _{f}Y}$

라고 하자.

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{-1}(G(E,F))&=U(E,F)\cup f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=U(E,F)\cup (f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\cap G_{1}(A(E,F),B(E,F)))\cap \\&=U(E,F)\cup (V(E,F)\cap Z\cap G_{1}(A(E,F),B(E,F)))\\&=U(E,F)\cup (U(E,F)\cap Z)\\&=U(E,F)\subseteq X\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{-1}(G(E,F))&=h^{-1}(g(U(E,F)\cap Z))\cup h^{-1}(h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=h^{-1}(g(f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\\&=G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\subseteq Y\end{aligned}}}$

는 모두 열린집합이므로, ${\displaystyle G(E,F)\subseteq X\cup _{f}Y}$는 열린집합이다. 또한,

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=(E\cap g(X\setminus Z))\cup (E\cap h(Y))\\&\subseteq g(g^{-1}(E)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\&\subseteq g(A(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\&\subseteq g(G_{1}(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq g(U(E,F))\cup h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=G(E,F)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=(F\cap g(X\setminus Z))\cup (F\cap h(Y))\\&\subseteq g(g^{-1}(F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\&\subseteq g(B(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\&\subseteq g(X\setminus \operatorname {cl} _{X}G_{1}(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup (X\cup _{f}Y\setminus h(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&\subseteq X\cup _{f}Y\setminus \operatorname {cl} _{X\cup _{f}Y}G(E,F)\end{aligned}}}$

이며 (${\displaystyle g\upharpoonright X\setminus Z}$가 열린 매장이며 ${\displaystyle h}$가 닫힌 매장이라는 사실을 사용하였다), 만약

${\displaystyle (E,F),(E',F')\in {\mathcal {D}}_{X\cup _{f}Y}}$

${\displaystyle E\subseteq E'}$

${\displaystyle F\supseteq F'}$

라면

${\displaystyle U(E,F)\setminus Z\subseteq U(E',F')\setminus Z}$

${\displaystyle U(E,F)\cap Z\subseteq U(E',F')\cap Z}$

이므로

${\displaystyle G(E,F)\subseteq G(E',F')}$

이다. 따라서, ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X\cup _{f}Y}\to {\mathcal {T}}_{X\cup _{f}Y}}$는 단조 정규성 연산자이다.