집합족적 정규 공간

일반위상수학에서 집합족적 정규 공간(영어: collectionwise normal space)은 정규 공간보다 강한 분리공리를 만족시키는 위상 공간이다. 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 하우스도르프 공간과 정규 하우스도르프 공간 사이에 있다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합들의 집합족 ${\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 이산 집합족(영어: discrete family)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \{i\in I\colon N\cap S_{i}\neq \varnothing \}}$이 공집합이거나 한원소 집합인 근방 ${\displaystyle N\ni x}$이 존재한다.
• ${\displaystyle \{\operatorname {cl} S_{i}\}_{i\in I}}$는 서로소 집합족이며, 임의의 ${\displaystyle J\subseteq I}$에 대하여 ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{j\in J}\operatorname {cl} S_{j}}$는 닫힌집합이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합들의 집합족 ${\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 분리 집합족(영어: separated family) 또는 거의 이산 집합족(영어: almost discrete family)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle S_{i}\cap \operatorname {cl} \bigcup _{j\in I\setminus \{i\}}S_{j}=\varnothing }$이다.
• ${\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}}$는 ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in I}S_{i}}$의 이산 집합족이다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle X}$를 집합족적 정규 공간이라고 한다.

• 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}}$인 열린집합들의 서로소 집합족 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$이 존재한다.
• 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}}$인 열린집합들의 이산 집합족 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$이 존재한다.
• 임의의 이산 집합족 ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}}$인 열린집합들의 서로소 집합족 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$이 존재한다.
• 임의의 이산 집합족 ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}}$인 열린집합들의 이산 집합족 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$이 존재한다.

증명:

만약 ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$가 이산 집합족이라면, ${\displaystyle \{\operatorname {cl} A_{i}\}_{i\in I}}$ 역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}}$인 열린집합들의 서로소 집합족 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$는 자명하게 정규 공간이다. 또한, ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i\in I}}$는 닫힌집합들의 국소 유한 집합족이므로, 그 합집합 역시 닫힌집합이다. 따라서,

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}F_{i}\subseteq V\subseteq \operatorname {cl} V\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}}$

인 열린집합 ${\displaystyle V\subseteq X}$가 존재한다. 그렇다면 임의의 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여, ${\displaystyle U_{i}\cap V}$는 열린집합이며, ${\displaystyle F_{i}\subseteq U_{i}\cap V}$이다. 이제, ${\displaystyle \{U_{i}\cap V\}_{i\in I}}$가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle N\cap U_{i}\cap V\neq \varnothing }$인 ${\displaystyle i\in I}$가 하나 이하인 근방 ${\displaystyle N\ni x}$를 찾아야 한다. 만약 ${\displaystyle x\not \in \operatorname {cl} V}$라면,

${\displaystyle N=X\setminus \operatorname {cl} V}$

를 고른다. 만약 ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} V}$라면, ${\displaystyle N}$을

${\displaystyle x\in U_{i}}$

인 유일한 ${\displaystyle U_{i}}$로 잡을 수 있다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle X}$를 완비 집합족적 정규 공간(영어: completely collectionwise normal space) 또는 유전 집합족적 정규 공간(영어: hereditarily collectionwise normal space)이라고 한다.

• ${\displaystyle X}$의 모든 부분 집합은 집합족적 정규 공간이다.
• ${\displaystyle X}$의 모든 열린집합은 집합족적 정규 공간이다.
• 임의의 분리 집합족 ${\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle \forall i\in I\colon S_{i}\subseteq U_{i}}$인 열린집합들의 서로소 집합족 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$이 존재한다.

증명:

첫 번째 조건은 자명하게 두 번째 조건을 함의한다. 임의의 ${\displaystyle X}$의 임의의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$의 이산 집합족은 ${\displaystyle X}$의 분리 집합족이므로, 세 번째 조건은 첫 번째 조건을 함의한다. 따라서, 두 번째 조건이 세 번째 조건을 함의함을 보이면 충분하다. 임의의 분리 집합족 ${\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle V_{i}=X\setminus \operatorname {cl} \bigcup _{j\in I\setminus \{i\}}S_{j}}$

는 열린집합이며, ${\displaystyle S_{i}\subseteq V_{i}}$이다. 따라서,

${\displaystyle V=\bigcup _{i\in I}V_{i}}$

는 열린집합이며, 모든 ${\displaystyle S_{i}}$를 포함한다. 가정에 따라, ${\displaystyle V}$는 집합족적 정규 공간이다. 또한, ${\displaystyle V}$의 임의의 원소는 어떤 ${\displaystyle V_{i}}$를 열린 근방으로 하며, ${\displaystyle V_{i}}$와 만나는 ${\displaystyle S_{j}}$는 ${\displaystyle j=i}$뿐이다. 따라서, ${\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}}$는 ${\displaystyle V}$의 이산 집합족이며, ${\displaystyle \forall i\in I\colon S_{i}\subseteq U_{i}}$인 ${\displaystyle V}$의 열린집합들의 서로소 집합족 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$가 존재한다. ${\displaystyle V}$는 열린집합이므로, ${\displaystyle U_{i}}$는 ${\displaystyle X}$의 열린집합이다.

성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

거리화 가능 공간	→	단조 정규 하우스도르프 공간	→	완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간	→	집합족적 정규 하우스도르프 공간
	↘			↓		↓
		완전 정규 하우스도르프 공간 (T6)	→	완비 정규 하우스도르프 공간 (T5)	→	정규 하우스도르프 공간 (T4)

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다 (마이클-나가미 정리, 영어: Michael–Nagami theorem).^{[1]:322, Theorem 5.3.3}

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[2]:182, Theorem 10}

• 거리화 가능 공간이다.
• 무어 공간이며, 집합족적 정규 공간이다.

예

순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 ${\displaystyle \omega _{1}}$은 완전 정규 공간이 아니다.

집합족적 정규 공간이 아닌 완전 정규 하우스도르프 공간이 존재한다.^{[2]:184, Example G}