폐포 (위상수학)

위상수학에서 폐포(閉包, 영어: closure)는 주어진 위상 공간의 부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.^[1] 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다.^[1] ${\displaystyle A}$의 폐포는 ${\displaystyle \operatorname {cl} A}$ 또는 ${\displaystyle {\bar {A}}}$와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,{\mathcal {T}})}A}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\mathcal {T}}A}$와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 거리 함수 ${\displaystyle d}$로 유도되었을 경우 ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,d)}A}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {cl} _{d}A}$와 같이 써도 좋다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$이 주어졌다고 하자. 점 ${\displaystyle x\in X}$이 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle A}$의 폐포점(閉包點, 영어: point of closure)이라고 한다.

• ${\displaystyle x}$의 모든 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing }$이다.

만약 ${\displaystyle x}$의 국소 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle A}$의 폐포점이다.
• 모든 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$에 대하여, ${\displaystyle B\cap A\neq \varnothing }$이다.

특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$의 폐포 ${\displaystyle \operatorname {cl} A}$는 ${\displaystyle A}$의 모든 폐포점들의 집합이다.

성질

극한점과의 관계

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle A}$의 폐포점이다.
• ${\displaystyle x\in A}$이거나, ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle A}$의 극한점이다.

즉, ${\displaystyle A}$의 폐포는 ${\displaystyle A}$와 그 유도 집합의 합집합이다.

${\displaystyle \operatorname {cl} A=A\cup A'}$

닫힌집합과의 관계

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 닫힌집합이다.
• ${\displaystyle \operatorname {cl} A=A}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} A\subseteq A}$
• ${\displaystyle A'\subseteq A}$

반대로, ${\displaystyle A}$의 폐포는 ${\displaystyle A}$를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는 ${\displaystyle A}$를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.

내부·경계와의 관계

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle A}$의 폐포점이다.
• ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle A}$의 내부점이거나 경계점이다.
• ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle A}$의 여집합 ${\displaystyle X\setminus A}$의 내부점이 아니다.

즉, ${\displaystyle A}$의 폐포는 ${\displaystyle A}$의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한 ${\displaystyle A}$의 내부와 경계의 분리 합집합이다.

${\displaystyle \operatorname {cl} A=X\setminus \operatorname {int} (X\setminus A)}$

${\displaystyle \operatorname {cl} A=\operatorname {int} A\sqcup \partial A}$

반대로, ${\displaystyle A}$의 경계는 ${\displaystyle A}$와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.

${\displaystyle \partial A=\operatorname {cl} A\cap \operatorname {cl} (X\setminus A)}$

항등식

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ 및 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {cl} \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle \operatorname {cl} X=X}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} A\cup \operatorname {cl} B}$

${\displaystyle \operatorname {cl} \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\supseteq \bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}\operatorname {cl} A}$

${\displaystyle \operatorname {cl} \left(\bigcap {\mathcal {A}}\right)\subseteq \bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}\operatorname {cl} A}$

또한, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 국소 유한 집합족이라면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {cl} \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)=\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}\operatorname {cl} A}$

즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하며, 보다 일반적으로 국소 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 유한·무한 교집합은 일반적으로 보존하지 않는다.

반례:

표준적인 위상을 갖춘 실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자.

${\displaystyle A_{n}=(1/n,1)\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}$

${\displaystyle A=(0,1)}$

${\displaystyle B=(1,2)}$

그렇다면, ${\displaystyle A_{n}}$의 합집합 ${\displaystyle (0,1)}$의 폐포 ${\displaystyle [0,1]}$는 ${\displaystyle A_{n}}$의 폐포 ${\displaystyle [1/n,1]}$의 합집합 ${\displaystyle (0,1]}$을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$의 교집합의 폐포는 공집합이며, 이는 ${\displaystyle A}$의 폐포 ${\displaystyle [0,1]}$와 ${\displaystyle B}$의 폐포 ${\displaystyle [1,2]}$의 교집합 ${\displaystyle \{1\}}$의 진부분 집합이다.

예

이산 공간

이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다.

비이산 공간

비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.

열린 공

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}}$에 대하여, (노름 위상을 갖춘) ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 위의 열린 공

${\displaystyle \operatorname {ball_{open}} (0,1)=\{v\in V\colon \Vert v\Vert <1\}}$

의 폐포는 닫힌 공

${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball_{open}} (0,1))=\operatorname {ball_{closed}} (0,1)=\{v\in V\colon \Vert v\Vert \leq 1\}}$

이다. 일반적인 거리 공간의 경우, 열린 공은 항상 열린집합이며, 닫힌 공은 항상 닫힌집합이지만, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 예를 들어, 이산 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위에서, ${\displaystyle x}$를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ball_{open}} (x,1)=\{x\}}$

${\displaystyle \operatorname {ball_{closed}} (x,1)=X}$

하지만 열린 공의 폐포는 자기 자신이며, 만약 ${\displaystyle |X|\geq 2}$인 경우 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다.

갈루아 군

갈루아 확대 ${\displaystyle L/K}$의 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$은 사유한군이며, 이 위에 사유한 위상을 줄 수 있다. 이 경우, 임의의 부분군 ${\displaystyle H\leq \operatorname {Gal} (L/K)}$의 폐포는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {cl} H=\operatorname {Gal} (L/L^{H})}$

여기서

${\displaystyle L^{H}=\{a\in L\colon h(a)=a\forall h\in H\}}$

는 ${\displaystyle H}$가 고정하는 체의 원소들로 구성된 부분 확대이다.

균등 공간

(균등 위상을 갖춘) 균등 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$의 폐포는 ${\displaystyle A}$의 대칭 측근들에 대한 상들의 교집합과 같다.^{[2]:104, Corollary 8.10}

${\displaystyle \operatorname {cl} A=\bigcap _{E=E^{-1}\in {\mathcal {E}}}\{y\colon \exists x\in A\colon (x,y)\in E\}}$

증명:

임의의 측근 ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$에 대하여, ${\displaystyle F=E\cap E^{-1}\subseteq E}$는 측근이며, ${\displaystyle F=F^{-1}}$이다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle y\in X}$에 대하여,

${\displaystyle \{\{x\colon (y,x)\in E\}\colon E=E^{-1}\in {\mathcal {E}}\}}$

은 ${\displaystyle x}$의 국소 기저를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} A&=\{y\in X\colon \forall E\in {\mathcal {E}}\colon E=E^{-1}\implies \{x\colon (y,x)\in E\}\cap A\neq \varnothing \}\\&=\{y\in X\colon \forall E\in {\mathcal {E}}\colon E=E^{-1}\implies (\exists x\in A\colon (y,x)\in E)\}\\&=\{y\in X\colon \forall E\in {\mathcal {E}}\colon E=E^{-1}\implies (\exists x\in A\colon (x,y)\in E)\}\\&=\bigcap _{E=E^{-1}\in {\mathcal {E}}}\{y\colon \exists x\in A\colon (x,y)\in E\}\end{aligned}}}$

스콧 위상

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$ 위에 스콧 위상을 주었을 때, 한원소 집합의 폐포는 그 하폐포이다.^{[3]:Remark II-1.4}

${\displaystyle \operatorname {cl} \{a\}=\mathop {\downarrow } a}$