대수적 순환

대수기하학에서 대수적 순환(代數的循環, 영어: algebraic cycle)은 어떤 대수다양체 V의 부분 다양체들의 선형 결합으로 나타내어지는 호몰로지류이다. 이를 이용하여, 대수적 위상수학과 대수기하학을 연관시킬 수 있다.

정의

스킴 ${\displaystyle X}$ 위의 대수적 순환들의 아벨 군 ${\displaystyle Z_{\bullet }(X)}$는 ${\displaystyle X}$의 기약 축소 닫힌 부분 스킴들로 생성되는 자유 아벨 군이다. 이는 부분 스킴의 크룰 차원으로 인하여 등급을 갖는다.

타당한 동치

대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영 대수다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 두 대수적 순환

${\displaystyle A=\sum _{Y\subseteq Z}A_{Y}Y\in Z(X)}$

${\displaystyle B=\sum _{Y\subseteq Z}B_{Y}Y\in Z(X)}$

에 대하여, 만약

${\displaystyle \dim(Y\cap Y')=\dim Y+\dim Y'-\dim X\qquad \forall Y,Y'\subseteq Z,\;a_{Y}\neq 0,\;b_{Y'}\neq 0}$

이라면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$가 서로 제대로 교차(영어: properly intersect)한다고 한다.

대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영 대수다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 대수적 순환들의 타당한 동치(妥當한 同値, 영어: adequate equivalence relation)는 ${\displaystyle Z(X)}$ 위에 정의된, 다음 조건을 만족시키는 동치 관계 ${\displaystyle \sim }$이다.

• (선형성) 임의의 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \alpha ,\alpha ,\beta ,\beta '\in Z(X)}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$, ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$이라면 ${\displaystyle m\alpha +n\beta \sim m\alpha '+n\beta '}$이다.
• (저우 이동 보조 정리) 임의의 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z(X)}$에 대하여, ${\displaystyle \alpha }$와 동치이며 ${\displaystyle \beta }$와 제대로 교차하는 ${\displaystyle \alpha '\sim \alpha }$가 존재한다.
• (밂) 임의의 ${\displaystyle \alpha \in Z(X)}$ 및 ${\displaystyle \beta \in Z(X\times Y)}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \beta }$와 ${\displaystyle \alpha \times Y}$가 제대로 교차하며, 또한 ${\displaystyle \alpha \sim 0}$이라면, ${\displaystyle (\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))\sim 0}$이다. 여기서 ${\displaystyle \pi _{Y}\colon X\times Y\to Y}$는 사영 사상이다.

대수적 순환의 유리 동치는 타당한 동치를 이룬다. 이 밖에도 흔히 쓰이는 타당한 동치로는 다음 네 가지가 있다.

• 유리 동치(有理同値, 영어: rational equivalence) ${\displaystyle \sim _{\text{rat}}}$
• 대수적 동치(代數的同値, 영어: algebraic equivalence) ${\displaystyle \sim _{\text{alg}}}$
• 호몰로지 동치(homology同値, 영어: homological equivalence) ${\displaystyle \sim _{\hom }}$
• 수치 동치(數値同値, 영어: numerical equivalence) ${\displaystyle \sim _{\text{num}}}$

이들은 더 엉성해지는 순서로 나열하였다. 즉, 예를 들어 서로 유리 동치인 두 대수적 순환은 항상 대수적 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 대수적 동치와 호몰로지 동치는 여차원 1(인자)인 경우 서로 일치하지만, 더 큰 여차원에서는 서로 일치하지 않으며, 그 차이는 그리피스 군(영어: Griffiths group)으로 측정된다.

유리 동치

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$위의 비특이 사영 대수다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 부분 다양체 ${\displaystyle A,B\in Z(X)}$에 대하여, 만약 다음 두 조건을 만족시키는 대수적 순환 ${\displaystyle V\in Z(X\times \mathbb {P} _{K}^{1})}$이 존재한다면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$가 서로 유리 동치라고 한다.

• ${\displaystyle [V\cap X\times \{0\}]-[V\cap X\times \{\infty \}]=[A]-[B]}$
• 사영 사상 ${\displaystyle V\twoheadrightarrow \mathbb {P} _{K}^{1}}$는 평탄 사상이다.

대수적 동치

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$위의 비특이 사영 대수다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 부분 다양체 ${\displaystyle A,B\in Z(X)}$에 대하여, 만약 다음 두 조건을 만족시키는

• 대수 곡선 ${\displaystyle C}$
• ${\displaystyle C}$ 속의 두 닫힌 점 ${\displaystyle c,d\in C}$
• ${\displaystyle X\times C}$ 속의 대수적 순환 ${\displaystyle V}$

가 존재한다면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$가 서로 대수적 동치라고 한다.

• ${\displaystyle [V\cap X\times \{c\}]-[V\cap X\times \{d\}]=[A]-[B]}$
• 사영 사상 ${\displaystyle V\twoheadrightarrow C}$는 평탄 사상이다.

호몰로지 동치

복소수체 위의 대수다양체의 경우, 특이 호몰로지를 정의할 수 있으며, 또한 대수적 순환에서 특이 호몰로지로 가는 사상

${\displaystyle Z(X)\to H^{2\bullet }(X)}$

이 존재한다. 만약 두 대수적 순환이 같은 특이 호몰로지류에 대응한다면, 이들을 서로 호몰로지 동치라고 한다.

복소수체가 아닌 체의 경우, 다른 베유 호몰로지 이론을 사용하여 호몰로지 동치를 정의할 수 있다.

수치 동치

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$위의 비특이 사영 대수다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 부분 다양체 ${\displaystyle A,B\in Z^{k}(X)}$에 대하여, 만약 임의의 ${\displaystyle k}$차원 대수적 순환 ${\displaystyle T}$에 대하여 다음이 성립한다면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$가 서로 수치 동치라고 한다.

• ${\displaystyle \deg(A\cap T)=\deg(B\cap T)}$

저우 환

대수적으로 닫힌 체 위의 사영 대수다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 대수적 순환들의 자유 아벨 군에 유리 동치에 대한 몫군을 취하여 얻는 군을 ${\displaystyle A(X)}$라고 쓰자. 이는 여차원에 따라 다음과 같이 등급으로 분해할 수 있다.

${\displaystyle A^{\bullet }(X)=\bigoplus _{k=0}^{\dim {X}}A^{k}(X)}$

이 위에 다음과 같이 교차곱을 정의하자.

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=[Y\cap Z]}$

이 때, 동치류의 대표원 ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$는 저우 이동 보조 정리를 사용하여 서로 제대로 교차하게 고른다. 위 정의는 대표원의 선택에 상관없음을 보일 수 있으며, 이는 여차원에 대하여 가법적이다.

${\displaystyle \cdot \colon A^{k}(X)\times A^{l}(X)\to A^{k+l}(X)}$

이에 따라 ${\displaystyle (A^{k}(X),\cdot )}$은 등급환을 이루며, 이를 ${\displaystyle X}$의 저우 환([周]環, 영어: Chow ring)이라고 한다. 이는 일종의 코호몰로지 환이다.

만약 ${\displaystyle X}$가 복소수체 위의 비특이 사영 대수다양체라면, 저우 환에서 (해석적 위상에 대한) 정수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형이 존재하며, 그 상은 모두 짝수 차수에 속한다. 일반적으로 이 준동형은 단사 함수도, (짝수 차수에 국한하여도) 전사 함수도 아니다.

${\displaystyle f\colon A^{\bullet }(X)\to H^{2\bullet }(X^{\operatorname {an} };\mathbb {Z} )}$

예

대수적으로 닫힌 체 위의 기약 대수다양체 ${\displaystyle X}$의 여차원 0의 대수적 순환은 ${\displaystyle X}$ 자체밖에 없다. 즉, 이로부터 생성되는 군은 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$와 동형이며, 유리 동치 · 대수적 동치 · 호몰로지 동치 · 수치적 동치가 일치한다.

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체 ${\displaystyle X}$의 여차원 1의 대수적 순환의 군은 카르티에 인자의 군

${\displaystyle \operatorname {CaDiv} (X)=\operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$

에 해당된다. 이 경우, 여차원 1의 저우 군(=유리 동치에 대한 몫군)은 피카르 군이다.

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)=\operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$

이 경우 대수적 동치와 (정수 계수) 호몰로지 동치는 일치하며, 이에 대한 몫군은 네롱-세베리 군이다.

${\displaystyle \operatorname {NS} (X)=\operatorname {Pic} (X)/\operatorname {Pic} _{0}(X)\subset \operatorname {H} _{\text{sing}}^{2}(X;\mathbb {Z} )}$

수치 동치와 (유리수 계수) 호몰로지 동치는 일치하며, 이에 대한 몫군은 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군에 대한 몫군이다.

${\displaystyle \operatorname {NS} (X)/\operatorname {Tors} (\operatorname {NS} (X))\subset \operatorname {H} _{\text{sing}}^{2}(X;\mathbb {Q} )}$

역사

이 용어는 1950년~60년대 몇가지 근본적인 추측이 이루어지기 시작하여 대수적 순환은 대수기하학의 주요 목표가 되었다. 문제의 본질은 매우 설명하기 쉬워 대수적 순환의 존재를 예측하긴 쉽지만, 현재 그것들을 구성하는 게 무엇인지는 불확실하다. 이러한 대수적 순환의 주요 추측으로는 호지 추측 및 테이트 추측이 있다. 또한, 대수적 순환은 대수적 K이론과도 밀접하게 연관되어 있는 것으로 추측된다.

유리 동치에 대한 저우 움직임 정리와 저우 환의 존재는 저우웨이량이 1956년에 증명하였다.^[1] 타당한 동치 관계의 개념은 피에르 사뮈엘(프랑스어: Pierre Samuel)이 1958년에 정의하였다.^[2]