피카르 군

대수기하학에서 피카르 군(Picard群, 영어: Picard group)은 환 달린 공간 위에 존재하는 가역층들의 군이다.

정의

${\displaystyle X}$가 환 달린 공간이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위에 존재하는 가역층(가역 선다발)들의 집합을 생각하자. 이 집합에 텐서곱을 통해 군의 연산을 줄 수 있다. 이 군을 피카르 군 ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$이라고 한다. 이는 층 코호몰로지를 사용하여

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)=H^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$

와 같이 정의할 수도 있다.

피카르 스킴

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$에 대한 사영 공간의 부분 스킴인 정역 스킴에 대하여, 피카르 군에 ${\displaystyle K}$-스킴의 주조를 줄 수 있는데, 이를 피카르 스킴(영어: Picard scheme) ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/K}}$이라고 한다.^[1]

피카르 스킴에서, 원점을 포함하는 연결 성분을 ${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(X)}$라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to \operatorname {Pic} ^{0}(X)\to \operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Pic} (X)/\operatorname {Pic} ^{0}(X)\to 1}$

여기서 몫군 ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)/\operatorname {Pic} ^{0}(X)}$을 네롱-세베리 군(영어: Néron–Severi group)이라고 하며, ${\displaystyle \operatorname {NS} (X)}$로 쓴다. 네롱-세베리 군의 계수를 피카르 수(영어: Picard number) ${\displaystyle \rho (X)}$라고 한다. 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 ${\displaystyle \operatorname {NS_{tors}} (X)}$의 크기를 세베리 수(영어: Severi number)라고 한다.

성질

대수적으로 닫힌 체 위의 완비 비특이 대수다양체 ${\displaystyle X}$의 네롱-세베리 군은 유한 생성 아벨 군이며, (네롱-세베리 정리 영어: Néron–Severi theorem) 또한 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 ${\displaystyle \operatorname {NS_{tors}} (X)}$은 쌍유리 동치에 대하여 불변이다.

예

체 ${\displaystyle K}$에 대한 ${\displaystyle n}$차원 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}$의 경우, 가역층들은 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m)}$ (${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$)이고, 이들은 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m_{1})\otimes {\mathcal {O}}(m_{2})\cong {\mathcal {O}}(m_{1}+m_{2})}$를 만족한다. 따라서 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}$의 피카르 군은 무한 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$와 동형이다.

데데킨트 정역의 피카르 군은 그 아이디얼 유군이다.

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 두 개의 ${\displaystyle \operatorname {Spec} K[x]}$를 0이 아닌 원소들의 열린 집합 ${\displaystyle \operatorname {Spec} K[x]\setminus \operatorname {Spec} K[x]/(x)}$에서 이어붙이면, 원점이 두 개인 아핀 직선을 얻는다. 이 경우, 피카르 군은 무한 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$와 동형이다.

역사

피카르 군은 에밀 피카르의 이름을 땄다. 네롱-세베리 군은 앙드레 네롱과 프란체스코 세베리의 이름을 땄다.