대역적 쌍곡 다양체

일반 상대성 이론에서 대역적 쌍곡 다양체(大域的雙曲多樣體, 영어: globally hyperbolic manifold)는 초기 조건 문제가 잘 정의될 수 있는 시공간을 묘사하는 다양체이다.

정의

${\displaystyle M}$이 경계가 없는 매끄러운 로런츠 다양체라고 하자. 만약 ${\displaystyle M}$이 다음 두 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle M}$을 대역적 쌍곡 다양체라고 한다.

• (인과성) 인과적 폐곡선을 갖지 않는다.
• (인과 다이아몬드의 콤팩트성) 모든 ${\displaystyle x,y\in M}$에 대하여, ${\displaystyle J^{-}(x)\cap J^{+}(y)}$는 콤팩트하다. 여기서 ${\displaystyle J^{\pm }}$은 인과적 미래와 인과적 과거이다.

만약 첫 번째 조건만 만족시키는 경우, ${\displaystyle M}$을 인과적 다양체(영어: causal manifold)라고 한다. 원래 대역적 쌍곡성은 위 "인과성" 조건 대신 "강한 인과성"(영어: strong causality) 조건으로 정의되었지만, 2007년에는 강한 인과성을 인과성으로 약화시켜도 같은 개념이 정의된다는 것이 증명되었다.^[1]

다양체 ${\displaystyle M}$의 코시 곡면(영어: Cauchy surface)은 다음 두 조건을 만족시키는, 여차원이 1인 초곡면 ${\displaystyle S\subset M}$이다.

• (비시간성 영어: achronality) 시간꼴 곡선은 ${\displaystyle S}$를 2번 이상 관통할 수 없다.
• 모든 점 ${\displaystyle x\in M}$에 대하여, ${\displaystyle x}$를 지나는 모든 인과적 곡선은 ${\displaystyle S}$를 지나게 인과적으로 연장될 수 있다.

코시 곡면의 존재는 대역적 쌍곡성과 동치이다.

성질

대역적 쌍곡 다양체 ${\displaystyle M}$의 코시 곡면 ${\displaystyle S}$들은 모두 미분동형이며, 또 ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle S\times \mathbb {R} }$와 미분동형이다.^[2]