디감마 함수

디감마 함수(Digamma function)는 폴리감마 함수중 첫번째 함수이다.

${\displaystyle \psi _{0}(z)}$ 또는 ${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}$으로도 표기한다.

감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수(polygamma function) ${\displaystyle \psi _{n}(z)}$로 주어진다.

${\displaystyle {\psi _{n}(z)}={d^{n+1} \over {dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)}$

${\displaystyle \;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}{{\Gamma '(z)} \over {\Gamma (z)}}}$

${\displaystyle \;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}\psi _{0}(z)}$

디감마 함수(Digamma function)

디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.

${\displaystyle \psi _{n}(z)}$에서 ${\displaystyle n=0}$

디감마 함수는 폴리감마 함수중 첫번째 함수로 주어진다.

${\displaystyle {\psi _{0}(z)}}$

${\displaystyle ={\psi _{}(z)}}$

트리감마 함수(Trigamma function)

${\displaystyle \psi _{n}(z)}$

${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\psi _{1}(z)}}$

감마 함수 미분의 급수 표현과 디감마 함수

${\displaystyle \psi _{0}(z)=}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{{(-1)^{k}} \over {zk+1}}={{\phi (-1,1,z^{-1})} \over {z}}}$

${\displaystyle \quad ={1 \over {2z}}\left(\psi _{0}\left({{z+1} \over {2z}}\right)-\psi _{0}\left({{1} \over {2z}}\right)\right)}$

${\displaystyle \phi (a,b,c)}$ 레르크 초월자(Lerch transcendent 또는 레르크 제타 함수)

그리고,

${\displaystyle n=integer,}$

${\displaystyle \psi _{0}(n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}{{1} \over {k}}}$

${\displaystyle \quad =-\gamma +H_{n-1}}$

오일러-마스케로니 상수${\displaystyle \;\gamma \;\;,\;\;H_{n}}$ 조화수(Harmonic number)

같이 보기

• 감마함수
• 폴리감마 함수