폴리감마 함수

정의

실수x에 대한 ψ(n)(x)의 . 오렌지가 디 감마 함수, 노란 색이 트리 감마 함수, 녹색이 테트라 감마 함수, 빨강이 펜타 감마 함수, 파랑이 헥사 감마 함수에 대응한다xψ⁽ⁿ⁾(x)

복소 평면상에서의 디감마 함수입니다ψ(z)

복소평면상에서의 트리감마함수입니다.ψ⁽¹⁾(z)

복소평면상에서의 테트라감마함수입니다.ψ⁽²⁾(z)

펜타감마 함수, 복소 평면 상에서의 펜타감마 함수입니다.ψ⁽³⁾(z)

감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수(polygamma function) ${\displaystyle \psi _{n}(z)}$로 주어진다.

${\displaystyle \psi _{0}(z)}$은 ${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}$으로도 표기한다.

이것은 폴리감마 함수중 첫번째 함수인 디감마 함수이다.

${\displaystyle {\psi _{n}(z)}={d^{n+1} \over {dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)}$

${\displaystyle \;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}{{\Gamma '(z)} \over {\Gamma (z)}}}$

${\displaystyle \;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}\psi _{0}(z)}$

오일러의 감마함수

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}\!\;}$

가우스의 감마함수

${\displaystyle \Gamma (z)={1 \over z}\prod _{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over k}\right)^{z}} \over {1+{z \over k}}}}$

${\displaystyle \therefore \;\Gamma '(z)=\psi _{0}(z)\Gamma (z)}$

${\displaystyle \psi _{0}(z)=\psi (z)={{\Gamma '(z)} \over {\Gamma (z)}}}$

• ${\displaystyle -\Gamma '(1)=\gamma =-\psi _{0}(1)}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{{\zeta (m)} \over {m}}\;\;(\gamma \;}$오일러-마스케로니 상수 ${\displaystyle ,\;\zeta \;}$리만 제타 함수 ${\displaystyle )}$

• ${\displaystyle m>0}$에서 감마 함수의 미분

${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\cdot \left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{{1} \over {k}}\right)}$

• ${\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }({\frac {1}{z}}-\log _{e}({\frac {z+1}{z}}))=\gamma }$

디감마 함수(Digamma function)

디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.

${\displaystyle \psi _{n}(z)}$에서 ${\displaystyle n=0}$

디감마 함수는 폴리감마 함수중 첫번째 함수로 주어진다.

${\displaystyle {\psi _{0}(z)}}$

${\displaystyle ={\psi _{}(z)}}$

트리감마 함수(Trigamma function)

${\displaystyle \psi _{n}(z)}$

${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\psi _{1}(z)}}$

로랑 급수의 점근적 확장 표현

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}}$

${\displaystyle B}$는 베르누이 수

감마 함수 미분의 급수 표현과 폴리감마 함수

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,n!\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)^{n+1}}}}$

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=(-1)^{0+1}\,0!\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)^{0+1}}}}$

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=-1\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)}}}$

${\displaystyle \psi ^{(0)}(1)=-1\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(1+k)}}}$

${\displaystyle \Gamma (z)={1 \over z}\prod _{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over k}\right)^{z}} \over {1+{z \over k}}}}$

${\displaystyle \Gamma (1)={1 \over 1}\prod _{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over 1}\right)^{1}} \over {1+{1 \over 1}}}}$

${\displaystyle \Gamma (1)=1}$

${\displaystyle \therefore \;\Gamma '(z)=\psi _{0}(z)\Gamma (z)}$

${\displaystyle \;\Gamma '(1)=\psi _{0}(1)\Gamma (1)}$

${\displaystyle \;\Gamma '(1)=\psi _{0}(1)\cdot 1}$

• 후르비츠 제타 함수 표현

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,n!\,\zeta (n+1,z)}$

큐-폴리감마 함수(q-polygamma function)

큐-폴리감마 함수는 폴리감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.

${\displaystyle \psi _{q}^{(n)}(z)={{\partial ^{n}\psi _{q}(z)} \over {\partial z^{n}}}}$

${\displaystyle \psi _{q}(z)={{\Gamma '_{q}(z)} \over {\Gamma _{q}(z)}}\;\;\;,z>0}$

• 큐 감마함수(q gamma function)

${\displaystyle f(x+1)={{1-q^{z}} \over {1-q}}f(x)}$

${\displaystyle q\in \left(0,1\right)}$ 구간 예약

${\displaystyle f(1)=1}$

${\displaystyle }$

${\displaystyle \log f(x),x>0}$

${\displaystyle f(x)=\Gamma _{q}(x)}$

${\displaystyle \therefore \Gamma _{q}(z)={{(q;q)\infty } \over {(q^{z};q)\infty }}(1-q)^{1-z}\;\;\;}$ 큐-포흐하머 기호${\displaystyle \;(q;q)\infty }$

${\displaystyle }$:${\displaystyle }$:${\displaystyle }$:${\displaystyle }$

같이 보기

• 감마함수
• 람베르트 급수
• 에르되시-보와인 상수
• 큐-아날로그
• 디리클레 L-함수