감마 함수

수학에서 감마 함수(Γ函數, 영어: gamma function)는 계승 (수학) 함수의 해석적 연속이다.

실수축 위에서 감마 함수의 그래프

감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.

양의 정수 n에 대하여 ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$이 성립한다.

정의

복소평면에서의 감마 함수

감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다.

오일러 적분

감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 오일러 적분이라고 한다.

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad (\operatorname {Re} z>0)}$

오일러 적분은 상반평면 ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} z>0\}}$ 인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수라 부른다.

가우스 극한

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{1\cdot 2\cdot 3\cdots n \over z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}n^{z}\qquad (z\neq 0,-1,-2,\dots )}$

이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태라고도 불리기도 한다.

바이어슈트라스 무한곱

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z\exp(\gamma z)}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(z/n)}{1+z/n}}}$

여기서 ${\displaystyle \gamma }$는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다.

계승의 일반화에서 주의점

 이 부분의 본문은 보어-몰러업 정리입니다.

만약 감마함수를 자연수 ${\displaystyle n}$에 대해

${\displaystyle \Gamma \left(n\right)=(n-1)!}$

을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어

${\displaystyle f(x)=\Gamma (x)\cos ^{2}\pi x\;}$

또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 ${\displaystyle \ln \Gamma (z)}$가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.

성질

감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\bar {z}})}$

특이점

감마 함수의 절댓값을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 극점을 갖는 것을 볼 수 있다.

감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 ${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$에서 단순극을 가진다. 단순극 ${\displaystyle -n}$에서 유수의 값은 ${\displaystyle \textstyle {(-1)^{n} \over n!}}$이다.^[1] 감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$는 전해석 함수이다.

함수 방정식

감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$

${\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}}$

두 번째 공식은 오일러 반사 공식(영어: Euler’s reflection formula)이라고 불린다.

곱의 정리

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).\,\!}$

특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)}$

미분과 적분

감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 ${\displaystyle \psi _{0}(z)}$로 주어진다.

${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z)}$

특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\cdot \left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)}$

일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.

${\displaystyle {d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln ^{n}t\,dt}$

감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$

특별한 값

반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 n에 대하여,

${\displaystyle \Gamma (1/2+n)={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \Gamma (1/2-n)={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}}$

이 공식들은 ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다.

몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}\quad ,\;\;G}$가우스 상수

응용

감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

초구의 부피

 이 부분의 본문은 초구입니다.

반지름이 ${\displaystyle R}$인 ${\displaystyle n}$차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}R^{n}={C_{n}R^{n}}}$

감마분포

 이 부분의 본문은 감마분포입니다.

감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 ${\displaystyle f(x)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{1 \over \beta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-{x \over \beta }},&{\mbox{if }}x\geq 0\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.

큐-감마 함수

큐-감마 함수(q-gamma function)는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.

${\displaystyle f(x+1)={{1-q^{z}} \over {1-q}}f(x)}$

${\displaystyle q\in \left(0,1\right)}$ 구간 예약

${\displaystyle f(1)=1}$

${\displaystyle }$

${\displaystyle \log f(x),x>0}$

${\displaystyle f(x)=\Gamma _{q}(x)}$

${\displaystyle \therefore \Gamma _{q}(z)={{(q;q)\infty } \over {(q^{z};q)\infty }}(1-q)^{1-z}\;\;\;}$ 큐-포흐하머 기호${\displaystyle \;(q;q)\infty }$

같이 보기

• 불완전 감마 함수
• 베타 함수
• 가우스 적분
• 가우스 상수
• 블로흐 상수
• 란다우 상수