디리클레 함수

수학에서 디리클레 함수(영어: Dirichlet function)는 실수 집합 위에 정의된 유리수 지시 함수이다.

디리클레 함수는 유리수에서 1, 무리수에서 0인 함수로, 모든 점에서 불연속입니다. 이를 통해 디리클레는 연속성과 함수 개념의 한계를 보여주었고, 해석학의 엄밀한 정의 발전에 기여했습니다.

디리클레 함수는 실수 전체를 정의역으로 하고, 유리수에는 1을, 무리수에는 0을 대응시키는 특이한 함수입니다. 이 함수는 모든 실수에서 불연속이며, 유리수와 무리수를 구분하는 대표적인 예로 사용됩니다. 해석학에서 함수의 연속성과 적분 가능성에 대한 기존 개념을 반례로써 깨뜨리며, 수학적으로 엄밀한 함수 개념을 정립하는 데 중요한 역할을 했습니다.

디리클레는 함수 외에도 여러 중요한 수학적 업적을 남겼습니다. 그는 디리클레 소수 정리를 통해 특정 산술수열에서 무한히 많은 소수가 존재한다는 사실을 증명했습니다. 이로 인해 소수의 분포에 대한 중요한 이론을 확립했으며, 디리클레 L-함수를 도입하여 해석학적 기법을 수론에 적용하였습니다. 또한 푸리에 급수의 수렴 조건에 대한 엄밀한 연구를 통해 해석학을 발전시키고, 디리클레 경계조건을 제시하여 부분 미분 방정식의 해법과 물리학적 문제에 중요한 기여를 했습니다. 이러한 업적들은 수론, 해석학, 수리물리학 등의 분야에서 큰 영향을 미쳤습니다.

디리클레는 수론과 해석학의 발전에 혁신적인 기여를 한 수학자로, 소수 이론과 푸리에 해석의 기초를 다졌습니다.

디리클레는 수학의 여러 분야에서 중요한 기여를 한 위대한 수학자입니다. 특히 수론과 해석학의 발전에 큰 영향을 미쳤으며, 디리클레 소수 정리와 L-함수 등의 업적을 통해 소수 이론과 해석적 수론의 기초를 다졌습니다. 또한, 푸리에 급수와 디리클레 경계조건 등은 해석학과 수리물리학의 중요한 기초가 되었고, 그의 연구는 오늘날까지도 수학 및 과학 분야에서 큰 영향을 미치고 있습니다. 디리클레의 업적은 수학의 여러 분야를 혁신적으로 발전시킨 중요한 이정표로 평가됩니다.

정의

디리클레 함수 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }\colon \mathbb {R} \to \{0,1\}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle m!}$는 계승, ${\displaystyle \cos }$는 코사인, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$와 ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$는 각각 유리수와 무리수의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$는 베르 2급 함수이다.^[1] 두 가지 정의가 같음은 다음과 같이 보일 수 있다.

증명:

만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$라면, ${\displaystyle \textstyle x={\frac {a}{b}}}$인 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle m\geq b}$에 대하여, ${\displaystyle m!x\in \mathbb {Z} }$이므로, ${\displaystyle \cos(m!\pi x)\in \{-1,1\}}$이다. 따라서,

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }1=1}$

이다.

만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$라면, 임의의 ${\displaystyle m\geq 0}$에 대하여 ${\displaystyle m!x\notin \mathbb {Z} }$이므로, ${\displaystyle \cos(m!\pi x)\in (-1,1)}$이다. 따라서,

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }0=0}$

이다.

성질

주기성

디리클레 함수 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$는 모든 유리수를 주기로 갖는 주기 함수이며, 이에 따라 최소 양의 주기가 없다.

증명:

임의의 ${\displaystyle t\in \mathbb {Q} }$ 및 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x+t)=1_{\mathbb {Q} }(x)}$임을 보이면 된다. 만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$라면, ${\displaystyle x+t\in \mathbb {Q} }$이므로,

${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x+t)=1=1_{\mathbb {Q} }(x)}$

이다. 만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$라면, ${\displaystyle x+t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$이므로,

${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x+t)=0=1_{\mathbb {Q} }(x)}$

이다.

이제, 귀류법을 사용하여, ${\displaystyle t_{0}\in \mathbb {Q} ^{+}}$가 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle \textstyle {\frac {t_{0}}{2}}\in \mathbb {Q} ^{+}}$ 역시 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$의 양의 주기이며, ${\displaystyle \textstyle {\frac {t_{0}}{2}}<t_{0}}$이다. 이는 ${\displaystyle t_{0}}$이 최소 양의 주기인 것과 모순이다.

연속성

디리클레 함수 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$는 모든 점에서 불연속이다. 이는 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 대하여,

${\displaystyle \limsup _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)=1}$

${\displaystyle \liminf _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)=0}$

이기 때문이다.

증명:

임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle x}$로 수렴하는 유리수 수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}$과 무리수 수열 ${\displaystyle (y_{n})_{n=0}^{\infty }}$을 취할 수 있다. 그렇다면

${\displaystyle 1=\lim _{n\to \infty }1_{\mathbb {Q} }(x_{n})\leq \limsup _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \sup _{y\in \mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }(y)=1}$

${\displaystyle 0=\inf _{y\in \mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \liminf _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)\leq \lim _{n\to \infty }1_{\mathbb {Q} }(y_{n})=0}$

이다.

적분

디리클레 함수 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$는 모든 점에서 불연속이므로, 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 불가능이다. 구체적으로, 그 상적분과 하적분은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=b-a}$

${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=0}$

그러나 디리클레 함수는 단순 함수이므로, 르베그 적분 가능하며, 그 르베그 적분은

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }d\mu =0}$

이다.

증명:

임의의 닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]}$ 및 임의의 분할

${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}\qquad (a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b)}$

에 대하여, 각 소구간 ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$은 유리수와 무리수를 원소로 포함하므로,

${\displaystyle \sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=1}$

${\displaystyle \inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=0}$

이다. 따라서 ${\displaystyle P}$에 대한 리만 상합과 리만 하합은

${\displaystyle U(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=b-a}$

${\displaystyle L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=0}$

이며, 그 상적분과 하적분은

${\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=\inf _{P}U(1_{\mathbb {Q} },P)=\inf _{P}(b-a)=b-a}$

${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=\sup _{P}L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sup _{P}0=0}$

이다.

유리수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 가산 집합이므로, 실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 보렐 집합이며, 특히 르베그 가측 집합이다. 따라서 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$는 단순 함수이며, 특히 가측 함수이다. 그 르베그 적분은

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }d\mu =\mu (\mathbb {Q} )=0}$

이다. 이에 따라 ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$는 르베그 적분 가능하다.

역사

독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레가 1829년에 제시하였다.^[2]

같이 보기

• 토메 함수