라게르 다항식

수학에서 라게르 다항식(Laguerre多項式, 영어: Laguerre polynomial)은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다. 양자역학 등에서 등장한다.

라게르 다항식의 그래프

정의

라게르 다항식 ${\displaystyle L_{n}}$은 다음과 같은 로드리게스 공식(영어: Rodrigues formula)으로 정의된다.

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}\exp(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\exp(-x)x^{n}}$

물리학에서는 ${\displaystyle 1/n!}$ 인자를 생략하고 정의하는 경우도 있다.

표

라게르 다항식의 값들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A021010)

n	n!Ln(x)
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle -x+1}$
2	${\displaystyle {1 \over 2}(x^{2}-4x+2)}$
3	${\displaystyle {1 \over 6}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)}$
4	${\displaystyle {1 \over 24}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)}$
5	${\displaystyle {1 \over 120}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)}$
6	${\displaystyle {1 \over 720}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)}$

성질

직교성

라게르 다항식들은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }L_{m}(x)L_{n}(x)e^{-x}=\delta _{mn}}$

여기서 ${\displaystyle \delta _{mn}}$은 크로네커 델타이다.

점화식과 생성함수

라게르 다항식은 다음과 같은 점화식을 따른다.

${\displaystyle L_{n+1}(x)={\frac {1}{n+1}}\left((2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)\right)}$

라게르 다항식의 생성함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{n}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}\exp \left({\frac {-tx}{1-t}}\right)}$

이를 전개하면 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}}$

갈루아 군

라게르 다항식은 항상 ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$의 기약 다항식이다.

라게르 다항식의 갈루아 군은 대칭군이다.^[1][2]

${\displaystyle \operatorname {Gal} (L_{n})\cong \operatorname {Sym} (n)}$

라게르 다항식의 미분의 갈루아 군은 대칭군이거나 교대군이다.^[2]

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\frac {d}{dx}}L_{n}\right)\cong {\begin{cases}\operatorname {Sym} (n)&\not \exists k\colon n=4k(k+1)\\\operatorname {Alt} (n)&\exists k\colon n=4k(k+1)\end{cases}}}$

역사

에드몽 라게르(프랑스어: Edmond Laguerre)가 1878년 도입하였다.^[3]

응용

라게르 다항식은 양자역학에서 3차원 등방 양자 조화 진동자를 분석할 때 등장한다.

같이 보기

• 야코비 다항식
• 에르미트 다항식