라그랑주 부분 다양체

심플렉틱 기하학에서 라그랑주 부분 다양체(Lagrange部分多樣體, 영어: Lagrangian submanifold)는 심플렉틱 형식의 당김이 0이 되어, 국소적으로 일반화 좌표(또는 일반화 운동량)의 부분 다양체로 간주할 수 있는 최대 차원 부분 다양체이다.

정의

${\displaystyle 2n}$차원 심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (M,\omega )}$ 속의 매끄러운 부분 다양체 ${\displaystyle \iota \colon N\hookrightarrow M}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 등방성 부분 다양체(等方性部分多樣體, 영어: isotropic submanifold)라고 한다.

${\displaystyle \iota ^{*}\omega =0}$

즉, 심플렉틱 형식 ${\displaystyle \omega }$를 ${\displaystyle N}$에 국한하였을 때 0이 되어야 한다.

${\displaystyle 2n}$차원 심플렉틱 다양체의 ${\displaystyle n}$차원 등방성 부분 다양체를 라그랑주 부분 다양체(영어: Lagrangian submanifold)라고 한다. 즉, 라그랑주 부분 다양체는 최대 차원의 등방성 부분 다양체이다.

이와 마찬가지로, 만약 ${\displaystyle \iota }$가 매끄러운 매장이 아니라 매끄러운 몰입일 경우, 마찬가지로 등방성 몰입(영어: isotropic immersion) 및 라그랑주 몰입(영어: Lagrangian immersion)을 정의할 수 있다.

라그랑주 올뭉치

라그랑주 올뭉치(영어: Lagrangian fibration)

${\displaystyle L{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}M{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}B}$

는 일반올 ${\displaystyle L}$이 전체 공간 ${\displaystyle (M,\omega )}$의 라그랑주 부분 다양체를 이루는 올뭉치이다. 이 경우, 합성 ${\displaystyle \pi \circ \iota \colon L\to B}$에서, ${\displaystyle \pi }$가 국소 미분 동형이 되지 않는 점, 즉 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 ${\displaystyle D(\pi \circ \iota )}$의 계수가 ${\displaystyle n}$ 미민인 점들의 집합

${\displaystyle \{b\in B\colon \operatorname {rank} D(\pi \circ \iota )|_{b}<n\}}$

을 라그랑주 올뭉치의 초점면(焦點面, 영어: caustic)이라고 한다.

특수 라그랑주 부분 다양체

${\displaystyle 2n}$차원 켈러 다양체 ${\displaystyle M}$위의 부피 형식이 ${\displaystyle \omega ^{n}/n!}$이며, ${\displaystyle (n,0)}$-복소수 미분 형식 ${\displaystyle \Omega }$가

${\displaystyle \Omega \wedge {\bar {\Omega }}=\omega ^{n}/n!}$

를 만족시킨다고 하자. ${\displaystyle \Omega }$의 실수 성분과 허수 성분을 분해하자.

${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+i\Omega _{2},\qquad \Omega _{1},\Omega _{2}\in H^{n}(M;\mathbb {R} )}$

그렇다면, ${\displaystyle (M,\Omega )}$ 속의 특수 라그랑주 부분 다양체(영어: special Lagrangian submanifold)는 다음 조건을 만족시키는 라그랑주 부분 다양체 ${\displaystyle \iota \colon L\hookrightarrow M}$이다.

${\displaystyle \iota ^{*}\Omega _{2}=0}$

칼라비-야우 다양체 속의 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념은 끈 이론, 특히 거울 대칭에서 등장한다.

성질

임의의 두 심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$, ${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$ 사이의 미분 동형

${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:Lemma 3.14}

• ${\displaystyle f}$는 심플렉틱 사상이다. 즉, ${\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}$이다.
• ${\displaystyle f}$의 그래프 ${\displaystyle \{(x,f(x))\colon x\in M_{1}\}\subset M_{1}\times M_{2}}$는 ${\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\oplus (-\omega _{2}))}$의 라그랑주 부분 다양체이다.

예

심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 벡터 공간

${\displaystyle 2n}$차원 심플렉틱 벡터 공간의 부분 벡터 공간 가운데 라그랑주 부분 다양체를 이루는 것을 라그랑주 부분 벡터 공간(영어: Lagrangian linear subspace)이라고 하며, 그 모듈라이 공간을 라그랑주 그라스만 다양체(영어: Lagrangian Grassmannian)라고 한다.

심플렉틱 벡터 공간에 심플렉틱 구조와 호환되는 내적을 주자 (이는 표준적이지 않다). 그렇다면, 내적의 선택에 따라 라그랑주 그라스만 다양체는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {LagGrass} (n)\cong \operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)}$

그러나 이 동형은 내적의 선택에 의존하므로 표준적이지 않다. 라그랑주 그라스만 다양체는 단일 연결 공간이 아니며, 그 기본군은 무한 순환군

${\displaystyle \pi _{1}\left(\operatorname {LagGrass} (n)\right)\cong \mathbb {Z} }$

이다. 이로부터 마슬로프 지표를 정의할 수 있다.

2차원 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체

2차원 심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (\Sigma ,\omega )}$ 속의 매끄러운 곡선 ${\displaystyle \gamma \subset \Sigma }$은 항상 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. (곡선 위에는 0이 아닌 2차 미분 형식이 존재할 수 없기 때문이다.)

예를 들어, 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 2차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=T^{*}\mathbb {R} }$을 생각하자. 이 경우, 임의의 곡선 ${\displaystyle \gamma \subset \mathbb {R} ^{2}}$은 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이 경우, ${\displaystyle x}$축으로의 사영

${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \pi \colon (x,p)\mapsto x}$

을 정의한다면, 이 사영에 대한 곡선의 초점면은 기울기가 무한대가 되는 점(즉, 접선이 ${\displaystyle p}$축과 평행한 점)이다. 예를 들어, 타원

${\displaystyle {\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2m}}p^{2}=E}$

은 해밀토니언 ${\displaystyle H(x,p)=kx^{2}/2+p^{2}/2m}$의 준위 부분 집합 ${\displaystyle \{(x,p)\colon H(x,p)=E\}}$인 라그랑주 부분 다양체이며, 초점면은 운동량이 0이 되는 점

${\displaystyle \{{\sqrt {2E/k}},-{\sqrt {2E/k}}\}}$

이다.

공변접다발

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 공변접다발 ${\displaystyle T^{*}M}$은 자연스럽게 심플렉틱 다양체를 이룬다. 임의의 매끄러운 함수 ${\displaystyle S\colon M\to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음과 같은 ${\displaystyle T^{*}M}$의 부분 다양체를 정의하자.

${\displaystyle \left\{(x,\partial _{\mu }S(x))\colon x\in M\right\}\subset T^{*}M}$

그렇다면 이는 ${\displaystyle T^{*}M}$의 라그랑주 분 다양체를 이룬다. 특히, 상수 함수 ${\displaystyle S=0}$일 경우 이는 ${\displaystyle M\subset T^{*}M}$는 라그랑주 부분 다양체를 이룬다.