마슬로프 지표

심플렉틱 위상수학에서 마슬로프 지표(Маслов指標, 영어: Maslov index)는 심플렉틱 다양체 속의 라그랑주 부분 다양체 속의 폐곡선에 대응되는, 폐곡선이 감기는 수를 측정하는 정수이다. 양자역학의 반고전적 근사법에서, 고전적 작용의 보정항으로 등장한다.

정의

${\displaystyle 2n}$차원 심플렉틱 벡터 공간 ${\displaystyle (V,\omega )}$가 주어졌다고 하자. 그 속의 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)}$

이는 ${\displaystyle n(n+1)/2}$차원의 동차공간이며, 이를 라그랑주 그라스만 다양체(영어: Lagrangian Grassmannian)이라고 한다.

라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 무한 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$이다. 구체적으로, ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$의 기본군은 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$이며, 이는 유니터리 행렬의 행렬식이 단위 복소수 ${\displaystyle \det M\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}}$임에서 기여한다. 직교 행렬의 행렬식은 ${\displaystyle \pm 1}$이므로, 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 ${\displaystyle 2\mathbb {Z} \subset \pi _{1}(\operatorname {U} (n))=\mathbb {Z} }$이다.

${\displaystyle 2n}$차원 심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (M,\omega )}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 접공간 ${\displaystyle T_{x}M}$에 대하여 라그랑주 그라스만 다양체를 취하면, 올이 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)}$인 올다발 ${\displaystyle \Lambda M\twoheadrightarrow M}$을 정의할 수 있다. 이를 라그랑주 그라스만 다발이라고 한다.

${\displaystyle M}$ 속의 라그랑주 부분 다양체 ${\displaystyle L\subset M}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle x\in L}$에 대하여 라그랑주 그라스만 다발 ${\displaystyle \Lambda M}$으로 가는 다발 사상

${\displaystyle L\to \Lambda M}$

이 존재한다. 만약 ${\displaystyle L}$이 축약 가능 공간이라고 하면, ${\displaystyle \Lambda M|_{L}}$과 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)}$은 서로 호모토피 동치이며, 자연스러운 군 동형

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n))\cong \pi _{1}(\Lambda M|_{L})}$

이 주어진다. 위 동형은 코호몰로지에 의한 당김

${\displaystyle \mathbb {Z} \cong \langle a\rangle \cong H^{1}(\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n))\cong H^{1}(\Lambda M|_{L};\mathbb {Z} )\to H^{1}(L;\mathbb {Z} )}$

이 존재한다. 이 경우, ${\displaystyle H^{1}(\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n))}$의 생성원 ${\displaystyle a}$의 ${\displaystyle H^{1}(L;\mathbb {Z} )}$에서의 상을 마슬로프 지표(영어: Maslov index) ${\displaystyle m\in H^{1}(L;\mathbb {Z} )}$라고 한다. 폐곡선 또는 1차 호몰로지류 ${\displaystyle [\gamma ]\in H_{1}(M;\mathbb {Z} )}$의 마슬로프 지표는 정수 ${\displaystyle m([\gamma ])\in \mathbb {Z} }$이다.

역사

빅토르 파블로비치 마슬로프(러시아어: Ви́ктор Па́влович Ма́слов)가 WKB 근사를 다루기 위하여 도입하였다.^[1][2] 이후 블라디미르 아르놀트가 1967년에 이를 대수적 위상수학을 통해 설명하였다.^[3]