심플렉틱 벡터 공간

선형대수학에서 심플렉틱 벡터 공간(symplectic vector空間, 영어: symplectic vector space)은 비퇴화 교대 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 쌍선형 형식

${\displaystyle \Omega \colon V\otimes _{K}V\to K}$

${\displaystyle \Omega \colon (a\otimes b)\mapsto \Omega (a,b)}$

가 다음 조건을 만족시키면, 심플렉틱 쌍선형 형식(영어: symplectic bilinear form)이라고 한다.

• ${\displaystyle \Omega (v,v)=0\qquad \forall v\in V}$
• (비퇴화성) 선형 변환 ${\displaystyle V\to V^{*}}$, ${\displaystyle v\mapsto \Omega (v,-)}$는 단사 함수이다. 즉, 만약 ${\displaystyle \Omega (v,u)=0\forall u\in V}$라면, ${\displaystyle v=0}$이다.

심플렉틱 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간 ${\displaystyle (V,\Omega )}$를 심플렉틱 벡터 공간이라고 한다.

성질

다르부 기저

(임의의 표수의) 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간 ${\displaystyle (V,\Omega )}$는 항상 짝수 차원이며, ${\displaystyle \Omega }$가 다음과 같은 행렬로 표현되게 만드는 기저가 존재한다.^{[1]:18–19, Theorem 2.10}

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}}$

이러한 기저를 다르부 기저(영어: Darboux basis)라고 한다.

라그랑주 부분 공간

임의의 체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$이 주어졌을 때,

${\displaystyle V\oplus V^{*}}$

위에 다음과 같은 심플렉틱 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Omega (a\oplus \alpha ,b\oplus \beta )=\langle a,\beta \rangle -\langle b,\alpha \rangle \qquad (a,b\in V,\;\alpha ,\beta \in V^{*})}$

심플렉틱 벡터 공간의 동형

${\displaystyle V\oplus V^{*}\to W}$

가 주어졌을 때, ${\displaystyle V}$를 ${\displaystyle W}$의 라그랑주 부분 공간이라고 한다. 모든 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간은 라그랑주 부분 공간을 가지며, 이는 일반적으로 유일하지 않다.

표준 부피 형식

${\displaystyle 2n}$차원 심플렉틱 벡터 공간 ${\displaystyle (V,\Omega )}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \overbrace {\Omega \wedge \Omega \wedge \dotsb \wedge \Omega } ^{n}\in \bigvee ^{n}(V)}$

는 ${\displaystyle V}$ 위의 부피 형식을 이룬다. 이를 ${\displaystyle V}$의 표준 부피 형식(영어: standard volume form)이라고 한다.

같이 보기

• 마슬로프 지표