레일리 분포

레일리 분포(Rayleigh distribution)는 확률론과 통계학에서 연속 확률 분포의 한 종류이다. 흔히 2차원 벡터의 직교 성분이 정규 분포일 경우, 벡터의 크기는 레일리 분포를 갖는다. 예를 들어 바람을 2차원 벡터로 나타냈을 때, 벡터의 두 직교 성분이 정규 분포이면, 바람의 속력은 레일리 분포를 따른다. 실수부와 허수부가 독립적으로 정규 분포를 따르는 복소수가 있다면, 복소수의 절댓값이 레일리 분포를 나타낸다.

레일리 분포

확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수	${\displaystyle \sigma >0\,}$
지지집합	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
확률 밀도	${\displaystyle {\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}}$
누적 분포	${\displaystyle 1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
기댓값	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$
중앙값	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\ln(4)}}\,}$
최빈값	${\displaystyle \sigma \,}$
분산	${\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
비대칭도	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$
첨도	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$
엔트로피	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma ^{3}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$
적률생성함수	${\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)}$

레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x|\sigma )={\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle {\textrm {erfi}}(z)\ }$가 복소오차 함수라고 할 때, 특성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi (t)=}$

${\displaystyle 1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}$

${\displaystyle {\textrm {erf}}(z)\ }$가 오차 함수일 때, 모멘트생성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle M(t)=\,}$

${\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)}$

${\displaystyle \Gamma (z)}$가 감마 함수일 때, 원적률은 다음과 같다.

${\displaystyle \mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,}$

모멘트를 이용하면 평균, 분산, 왜도, 첨도 등을 구할 수 있다.

모수 추정

${\displaystyle \sigma }$ 매개변수의 최대우도 추정공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma \approx {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=0}^{N}x_{i}^{2}}}}$

다른 확률 분포

• ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$와 ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$가 서로 독립인 정규 분포일 때 ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$는 레일리 분포 ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$이다.
• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$이면 ${\displaystyle R^{2}}$은 자유도가 2인 카이 제곱 분포이다. ${\displaystyle R^{2}\sim \chi _{2}^{2}}$
• ${\displaystyle X}$가 지수 분포 ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (x|\lambda )}$이면, ${\displaystyle Y={\sqrt {2X\sigma \lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (y|\sigma )}$이다.
• 카이 분포는 레일리 분포를 일반화한 것이다.
• 라이스 분포는 레일리 분포를 일반화 한 것이다.
• 베이불 분포는 레일리 분포를 일반화한 것이다.

같이 보기

• 다중경로