베이불 분포

통계학에서 베이불 분포(영어: Weibull distribution)은 연속 확률 분포의 하나이다. 발로디 베이불(스웨덴어: Waloddi Weibull)의 이름에서 따왔다. 입자의 분포를 다루는 경우 로신-램러 분포(Rosin-Rammler distribution)라고 부르기도 한다.

와이블 분포

확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수	${\displaystyle \lambda >0}$, ${\displaystyle k>0}$
지지집합	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}$
확률 밀도	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
누적 분포	${\displaystyle {\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
기댓값	${\displaystyle \lambda \,\Gamma (1+1/k)\,}$
중앙값	${\displaystyle \lambda (\ln(2))^{1/k}\,}$
최빈값	${\displaystyle {\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,&k>1\\0&k=1\end{cases}}}$
분산	${\displaystyle \lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,}$
비대칭도	${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$
엔트로피	${\displaystyle \gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,}$
적률생성함수	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1}$
특성함수	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}$

베이불 분포는 유연하기 때문에 수명 데이터 분석에 자주 쓰이는데 정상분포나 지수분포같은 다른 통계적인 분포를 흉내낼수도 있다. 주로 산업현장에서 부품의 수명을 추정하는 데 사용되며, 고장날 확률이 시간이 지나면서 높아지는 경우와 줄어드는 경우와 일정한 경우 모두 추정 할 수 있다. 고장날 확률이 시간에 따라 일정한 경우는 지수분포와 같다.

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

사용의 예

베이불 분포는 다음과 같은 경우의 분석에 쓰인다.

• 부품의 수명 추정 분석
• 산업 현장에서 어떤 제품의 제조와 배달에 걸리는 시간을 나타낸다.
• 날씨예보
• 신뢰성공학에서 실패분석

같이 보기

• 로지스틱 분포
• 입도분포 곡선
• 레일리 분포