로그 미분

수학, 특히 미적분학과 복소해석학에서 함수 f의 로그 미분(Logarithmic derivative)은 다음 공식으로 정의된다. $${\displaystyle {\frac {f'}{f}}}$$ 여기서 f′는 f의 미분이다.^[1] 직관적으로 이것은 f의 무한소 상대 변화이다. 즉, f의 무한소 절대 변화인 f′를 f의 현재 값으로 조정한 것이다.

f가 실변수 x의 함수 f(x)이고, 실수, 엄격하게 양수 값을 취할 때, 이것은 ln f(x) 또는 f의 자연로그의 미분과 같다. 이것은 연쇄 법칙에서 직접 따른다.^[1] $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}}$$

기본 속성

실수 로그의 많은 속성은 함수가 양의 실수를 값으로 취하지 않을 때에도 로그 미분에도 적용된다. 예를 들어, 곱의 로그는 인수의 로그의 합이므로 다음을 얻는다. $${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.}$$ 따라서 양의 실수 값을 갖는 함수에 대해 곱의 로그 미분은 인수의 로그 미분의 합이다. 그러나 곱의 미분에 대한 일반화된 라이프니츠 법칙을 사용하여 다음을 얻을 수도 있다. $${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$$ 따라서, 어떤 함수에 대해서든 곱의 로그 미분은 인수의 로그 미분(정의될 때)의 합이라는 것이 참이다.

이에 대한 따름정리는 함수의 역수의 로그 미분이 함수의 로그 미분의 부정(negation)이라는 것이다. $${\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},}$$ 양의 실수의 역수의 로그가 그 숫자의 로그의 부정인 것과 같다.

더 일반적으로, 몫의 로그 미분은 피제수와 제수의 로그 미분의 차이이다. $${\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},}$$ 몫의 로그가 피제수와 제수의 로그의 차이인 것과 같다.

다른 방향으로 일반화하면, 거듭제곱(상수 실수 지수 포함)의 로그 미분은 지수와 밑의 로그 미분의 곱이다. $${\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},}$$ 거듭제곱의 로그가 지수와 밑의 로그의 곱인 것과 같다.

마지막으로, u의 지수 함수의 로그 미분은 u의 미분일 뿐이다. $${\displaystyle {\frac {(e^{u})'}{e^{u}}}={\frac {u'e^{u}}{e^{u}}}=u',}$$ 함수의 지수 함수의 로그가 원래 함수인 것과 같다.

요약하면, 미분과 로그 모두 곱 규칙, 역수 규칙, 몫 규칙 및 멱 규칙을 갖는다(로그 항등식 목록 비교). 각 규칙 쌍은 로그 미분을 통해 관련된다.

로그 미분을 이용한 일반 미분 계산

 이 부분의 본문은 로그 미분법입니다.

로그 미분은 곱 규칙을 필요로 하는 미분 계산을 간소화하면서 동일한 결과를 생성할 수 있다. 절차는 다음과 같다. f(x) = u(x)v(x)이고 f′(x)를 계산하고자 한다고 가정하자. f′ = u′v + v′u로 직접 계산하는 대신, 로그 미분을 계산한다. 즉, 다음을 계산한다. $${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$$

f를 곱하면 f′가 계산된다. $${\displaystyle f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).}$$

이 기술은 f가 많은 인수의 곱일 때 가장 유용하다. 이 기술은 각 인수의 로그 미분을 계산하고, 합하고, f를 곱하여 f′를 계산하는 것을 가능하게 한다.

예를 들어, 다음의 로그 미분을 계산할 수 있다. $${\displaystyle (e^{x})^{2}(x-2)^{3}(x-3)(x-1)^{-1}}$$ 다음과 같이 된다. $${\displaystyle 2+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}.}$$

적분인자

로그 미분 개념은 1계 미분 방정식에 대한 적분인자 방법과 밀접하게 연결되어 있다. 연산자 용어로, $${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$$라고 쓰고, M을 주어진 함수 G(x)에 의한 곱셈 연산자라고 하자. 그러면 곱 규칙에 따라 $${\displaystyle M^{-1}DM}$$은 $${\displaystyle D+M^{*}}$$로 쓸 수 있으며, 여기서 ${\displaystyle M^{*}}$는 이제 로그 미분 $${\displaystyle {\frac {G'}{G}}}$$에 의한 곱셈 연산자를 나타낸다.

실제로 우리는 다음과 같은 연산자를 받는다. $${\displaystyle D+F=L}$$ 그리고 주어진 f에 대해 함수 h에 대한 다음 방정식을 풀고자 한다. $${\displaystyle L(h)=f}$$ 이것은 다음을 푸는 것으로 귀결된다. $${\displaystyle {\frac {G'}{G}}=F}$$ 이것은 F의 모든 부정적분을 갖는 다음 해를 갖는다. $${\displaystyle \exp \textstyle (\int F)}$$

복소해석학

 편각 원리 문서를 참고하십시오.

주어진 공식은 더 넓게 적용될 수 있다. 예를 들어, f(z)가 유리형 함수인 경우, f가 영점이나 극점을 갖지 않는 모든 복소수 z 값에서 의미가 있다. 또한, 영점이나 극점에서 로그 미분은 특정 경우에서 쉽게 분석되는 방식으로 동작한다.

zⁿ

n은 정수이고 n ≠ 0이다. 로그 미분은 $${\displaystyle n/z}$$ 그리고 f가 유리형일 때 f의 로그 미분의 특이점은 모두 단순극이며, n차 영점에서 유수 n, n차 극점에서 유수 −n을 갖는다는 일반적인 결론을 내릴 수 있다. 편각 원리를 참조하라. 이 정보는 종종 경로적분법에서 활용된다.^[2][3]

네반린나 이론 분야에서 중요한 보조정리는 로그 미분의 근접 함수가 원래 함수의 네반린나 특성함수에 비해 작다는 것이다. 예를 들어 ${\displaystyle m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))}$이다.^[4]

곱셈군

로그 미분 사용 뒤에는 GL₁, 즉 실수 또는 다른 체의 곱셈군에 대한 두 가지 기본 사실이 있다. 미분 연산자 $${\displaystyle X{\frac {d}{dX}}}$$ 는 팽창(상수 a에 대해 X를 aX로 대체)에 대해 불변이다. 그리고 미분 형식 $${\displaystyle {\frac {dx}{X}}}$$ 또한 불변이다. GL₁로 가는 함수 F의 경우, 공식 $${\displaystyle {\frac {dF}{F}}}$$는 따라서 불변 형식의 당김이다.

예시

• 기하급수적 성장과 지수적 감쇠는 로그 미분이 상수인 과정이다.
• 수리금융학에서 그리스 λ는 기초 자산 가격에 대한 파생상품 가격의 로그 미분이다.
• 수치해석학에서 조건수는 입력의 상대적 변화에 대한 출력의 무한소 상대적 변화이며, 따라서 로그 미분의 비율이다.
• 디감마 함수와 그 확장인 폴리감마 함수는 감마 함수의 로그 미분으로 정의된다.

같이 보기

• 미분의 일반화
• 로그 미분법
• 함수의 탄력성
• 곱 적분