스톤-체흐 콤팩트화

일반위상수학에서 스톤-체흐 콤팩트화(Stone-Čech compact化, 영어: Stone–Čech compactification)는 어떤 위상 공간에 대하여 대응되는 표준적인 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 공역이 콤팩트 하우스도르프 공간인 모든 연속 함수는 그 정의역의 스톤-체흐 콤팩트화로 표준적으로 확장시킬 수 있다.

정의

위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$와 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CompHaus} }$가 주어졌다고 하자. 후자는 전자의 부분 범주이며, 따라서 망각 함자

${\displaystyle U\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Top} }$

가 존재한다. 이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.

${\displaystyle \beta \colon \operatorname {Top} \to \operatorname {CompHaus} }$

${\displaystyle \beta \dashv U}$

이 경우, ${\displaystyle \beta }$를 스톤-체흐 콤팩트화라고 한다. 이에 따라, ${\displaystyle \operatorname {CompHaus} }$는 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$의 반사 부분 범주를 이룬다.

구성

위상 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 그 스톤-체흐 콤팩트화는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,[0,1])}$이 연속 함수 ${\displaystyle X\to [0,1]}$들의 집합이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}}$에 곱위상을 주자. 이 경우, 다음과 같은 자연스러운 함수가 존재하며, 이는 연속 함수를 이룬다. (만약 ${\displaystyle X}$가 티호노프 공간이라면 이는 추가로 단사 함수이다.)

${\displaystyle \phi \colon X\to [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}}$

${\displaystyle \phi \colon x\mapsto (f(x))_{f\in {\mathcal {C}}(X,[0,1])}}$

${\displaystyle [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}}$는 콤팩트 공간들의 곱공간이므로, 티호노프 정리에 따라서 콤팩트 공간이다. 그렇다면,

${\displaystyle \phi (X)\subseteq [0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}}$

의 폐포는 (부분 공간 위상을 부여하면) ${\displaystyle X}$의 스톤-체흐 콤팩트화와 동형이다.

${\displaystyle \beta X\cong \operatorname {cl} _{[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}}\phi (X)}$

성질

수반 함자의 단위원 ${\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\operatorname {Top} }\Rightarrow U\circ \beta }$로부터, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 표준적인 연속 함수

${\displaystyle \eta _{X}\colon X\to \beta X}$

가 존재한다. 이는 일반적으로 단사 함수가 아니다. 만약 ${\displaystyle X}$가 티호노프 공간이라면, 이는 단사 함수이며, 이는 ${\displaystyle X}$와 그 상 ${\displaystyle \eta _{X}(X)}$ 사이의 위상동형을 정의하며, ${\displaystyle \eta _{X}(X)}$는 ${\displaystyle \beta X}$의 조밀 집합을 이룬다. 만약 ${\displaystyle X}$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 ${\displaystyle \beta X}$는 ${\displaystyle X}$와 위상동형이다.

일반적인 공간의 스톤-체흐 콤팩트화의 존재를 증명하려면 선택 공리가 필요하다. 일반적으로, 스톤-체흐 콤팩트화의 성질은 사용하는 집합론의 공리(연속체 가설 등)에 따라서 크게 달라진다.

집합을 그 이산 공간에 대응시키는 함자

${\displaystyle D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Top} }$

및 망각 함자

${\displaystyle |\cdot |\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} }$

가 주어졌다면, ${\displaystyle |\cdot |\circ U\circ \beta \circ D}$는 집합의 범주 위의 모나드를 이루며, 이 모나드 위의 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 이 함자는 집합 ${\displaystyle S}$의 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$에 대응하는 스톤 공간과 같다.

예

(순서 위상을 갖춘) 최소의 비가산 순서수 ${\displaystyle \omega _{1}}$의 스톤-체흐 콤팩트화는 ${\displaystyle \omega _{1}+1}$이다.

이산 공간

이산 공간 ${\displaystyle X}$의 스톤-체흐 콤팩트화 ${\displaystyle \beta X}$의 크기·무게·작은 귀납적 차원은 다음과 같다.

${\displaystyle |\beta X|=2^{2^{|X|}}}$

${\displaystyle \operatorname {wt} (\beta X)=2^{|X|}}$

${\displaystyle \operatorname {ind} (\beta X)=0}$

특히, ${\displaystyle \beta X}$는 완전 분리 공간이다.

자연수의 이산 공간 ${\displaystyle \mathbb {N} }$의 스톤-체흐 콤팩트화 ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$은 추가적으로 다음 성질들을 만족시킨다.

• 임의의 무한 닫힌집합 ${\displaystyle F\subset \beta \mathbb {N} }$은 ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$과 위상 동형인 부분 집합을 갖는다.^{[1]:175, Theorem 3.6.14}
• 모든 수렴 점렬은 최종적으로 상수 점렬이다. 따라서, ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$의 점렬 집합은 이산 집합밖에 없다.

역사

마셜 하비 스톤^[2]과 에두아르트 체흐^[3] 가 1937년에 독자적으로 도입하였다.