리에나르-비헤르트 퍼텐셜

리에나르-비헤르트 퍼텐셜(Liénard–Wiechert potential)은 움직이는 대전된 입자가 만드는 뒤처진 전자기 퍼텐셜이다. 프랑스의 알프레드마리 리에나르(프랑스어: Alfred-Marie Liénard, 1869〜1958)가 1898년^[1] 에, 독일의 에밀 요한 비헤르트(독일어: Emil Johann Wiechert, 1861〜1928)가 1900년^[2]에 독립적으로 유도하였다.

정의

전하 ${\displaystyle q}$를 가진 입자가 시간 ${\displaystyle t'}$에 따라 경로 ${\displaystyle \mathbf {y} (t')}$를 만들며 움직인다고 하자. 이 점전하가 만든, 시각 ${\displaystyle t}$와 위치 ${\displaystyle \mathbf {x} }$에서의 전위 ${\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )}$와 벡터 퍼텐셜 ${\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}$는 뒤쳐진 시간 ${\displaystyle t_{\text{ret}}}$에서의 점입자의 위치 ${\displaystyle \mathbf {y} _{\text{ret}}}$와 속도 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}}$에 의해 결정되며, 주어진 시각 ${\displaystyle t}$와 위치 ${\displaystyle \mathbf {x} }$에 대해 뒤쳐진 시간 ${\displaystyle t_{\text{ret}}}$은 방정식 ${\displaystyle t_{\text{ret}}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} (t_{\text{ret}})|}{c}}}$를 풀어서 구할 수 있다. 로렌츠 게이지에서, 전위와 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다.

${\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r(1-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}q{\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}}{4\pi r(1-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)}}}$.

여기서

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\mathbf {x} -\mathbf {y} _{\text{ret}})/\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{\text{ret}}\Vert }$

은 입자의 뒤처진 위치 ${\displaystyle \mathbf {y} _{\text{ret}}}$에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 ${\displaystyle \mathbf {x} }$를 가리키는 단위벡터이고,

${\displaystyle r=\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} _{\text{ret}}\Vert }$

은 입자의 뒤처진 위치 ${\displaystyle \mathbf {y} _{\text{ret}}}$에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 ${\displaystyle \mathbf {x} }$까지의 거리다. ${\displaystyle c}$는 빛의 속도이고, ${\displaystyle \epsilon _{0}}$은 진공의 유전율이고, ${\displaystyle \mu _{0}}$은 진공의 투자율이다.

만약 입자가 (뒤처진 시각에) 움직이지 않았다면 (${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}=\mathbf {0} }$) 입자의 퍼텐셜은 그냥 쿨롱 퍼텐셜이 된다.

${\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$.

리에나르-비헤르트 장

리에나르-비헤르트 퍼텐셜로부터 계산한 전자기장을 리에나르-비헤르트 장(Liénard–Wiechert field)이라고 하며, 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}(1-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)^{3}}}\left({\frac {(1-\Vert {\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}\Vert ^{2}/c^{2})({\hat {\mathbf {r} }}-{\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c)}{r^{2}}}+{\frac {({\ddot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}\times ({\hat {\mathbf {r} }}-{\dot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}/c))\times {\hat {\mathbf {r} }}}{rc}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /c}$.

즉, 원거리장(far field)은 입자의 (뒤처진) 가속도 ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {y} }}_{\text{ret}}}$에 비례한다. 리에나르-비헤르트 장의 포인팅 벡터를 계산하여 입자가 방사하는 에너지의 양을 계산하면 라모 공식을 얻는다.

같이 보기

• 맥스웰 방정식
• 고전 전자기학
• 상대론적 전자기학
• 특수 상대성이론
• 뤼드베리 공식
• 예피멘코 방정식
• 라모 공식