라모 공식

라모 공식(Larmor公式, Larmor formula)은 가속하는 대전된 입자가 전자기파로 복사하는 에너지의 일률에 대한 공식이다.

역사

비상대론적인 속도에서의 라모 공식은 아일랜드의 수학자 조지프 라모어가 1897년에 유도하였다.^[1] 상대론적인 속도에서의 라모 공식은 프랑스의 알프레드마리 리에나르(Alfred-Marie Liénard)가 리에나르-비헤르트 퍼텐셜을 써서 1898년에 유도하였다.^[2]

정의

전하 ${\displaystyle q}$를 가진 입자가 빛의 속도에 비해 매우 느린 속도 ${\displaystyle \Vert \mathbf {v} \Vert \ll c}$로 움직인다고 하자. 이 입자가 가속도 ${\displaystyle \mathbf {a} }$로 속도를 바꾸면, 입자는 제동 복사에 의하여 전자기파(광자)를 배출하며, 이로 인하여 에너지를 잃는다. 그렇다면 복사되는 에너지의 일률 ${\displaystyle P}$는 국제단위계로 다음과 같다.

${\displaystyle P={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}}$.

여기서 ${\displaystyle \epsilon _{0}}$은 진공의 유전율이다. CGS 단위계로는 (${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$을 1로 놓으므로) 다음과 같다.

${\displaystyle P={\frac {2q^{2}a^{2}}{3c^{3}}}}$.

위 공식은 빛의 속도에 비해 매우 느린 속도에서만 유효하다. 만약 속도가 빛의 속도에 비해 무시할 수 없을 정도로 크다면, 다음과 같은 공식을 사용한다.

${\displaystyle P={\frac {q^{2}\gamma ^{6}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}(a^{2}-\lVert \mathbf {v} \times \mathbf {a} \rVert ^{2}/c^{2})}$.

여기서 ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$는 로런츠 인자다.

사차원 벡터로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle P={\frac {q^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}\left({\frac {du^{\mu }}{d\tau }}\right)^{2}}$.

여기서 ${\displaystyle u^{\mu }}$는 입자의 사차원 속도이고, ${\displaystyle \tau }$는 입자의 고유 시간이다.

같이 보기

• 휘어진 시공간에서 맥스웰 방정식
• 파동 방정식