아벨 리 대수
체
위의 아벨 리 대수
와 그 자명한 표현
를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 리 괄호가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다.

특히,
라고 하자. 그렇다면

이며,
가 유한 차원일 경우

이다.
기하학적으로,
라고 하고, 아벨 리 군
을 생각하자. 이는 위상수학적으로
차원 원환면이며, 그 드람 코호몰로지는

이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. 호지 이론에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 리만 계량을 주었을 때) 조화 형식의 벡터 공간과 표준적으로 동형이다. 평탄한 리만 계량을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변인 것이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응함을 쉽게 알 수 있다.
코쥘 복합체
가환환
위의 가군
및 가군 준동형
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
을
위의 아벨 리 대수로 여길 수 있으며, 또한
위에

로 정의하여
를 아벨 리 대수
의 표현으로 생각하자. 이 경우,
계수의
의 슈발레-에일렌베르크 복합체는
에 대한 코쥘 공사슬 복합체와 같다. 즉, 코쥘 복합체는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다.
2차원 비아벨 리 대수
체
위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수

![{\displaystyle [x,y]=x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646d0f0ddfcd8ebfece079d279494710bdd87d66)
가 주어졌다고 하자. 이는 가해 리 대수이다. 그렇다면,
계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.



![{\displaystyle \delta _{2}\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb5060504fb02ce554f17eebcb2a093a5baba0d)
즉,
계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다.



즉, 호몰로지 베티 수는 각각
,
,
이다. 마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다.




따라서, 코호몰로지의 차원도
,
,
이다.
3차원 직교 대수
3차원 직교군의 리 대수
의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보자.
의 기저는 다음과 같다.
![{\displaystyle [x,y]=z}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbbc6296b8fa3826df99b98e4725ea2df24e101)
![{\displaystyle [y,z]=x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c6eead41c9ece6c93eea070dddd9e376132bcb)
![{\displaystyle [z,x]=y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7135cdca8a17e945b280423a5b189621edc24d9)
따라서,
계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.



![{\displaystyle \partial _{2}\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-z}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec14e050c657c3acbe87eed7dbfd4bbfb813d3a5)
![{\displaystyle \partial _{2}\colon y\wedge z\mapsto -[y,z]=-x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7afe390f3f82424daa2aa81daa050d8470e1d22)
![{\displaystyle \partial _{2}\colon z\wedge x\mapsto -[z,x]=-y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee14792b5eeaad3f4fa78b13613ad51d2be3c2e7)


따라서, 이 경우




이다. 리 군
은 3차원 초구
와 위상 동형이며, 위 값들은 3차원 초구의 베티 수와 일치한다.