리 대수 코호몰로지

리 군론에서 리 대수 코호몰로지(Lie代數cohomology, 영어: Lie algebra cohomology)는 리 대수 위에 정의되는 코호몰로지 이론이다. Ext 함자의 특수한 경우이다.

정의

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 보편 포락 대수가 ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$라고 하고, ${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 표현(즉, ${\displaystyle U}$ 위의 가군)이라고 하자.

${\displaystyle R}$를 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 자명한 표현이라고 여기면, 리 대수 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R;M)}$

즉, 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자

${\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\colon {\mathfrak {g}}m=0\}}$

의 오른쪽 유도 함자이다.

마찬가지로, 리 대수 호몰로지(영어: Lie algebra homology)는 다음과 같은 Tor 함자이다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{n}({\mathfrak {g}};M)=\operatorname {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R;M)}$

즉, 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자

${\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}=M/{\mathfrak {g}}M}$

의 왼쪽 유도 함자이다.

성질

연결 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 그 드람 코호몰로지는 그 리 대수 ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$의 리 대수 코호몰로지와 (등급 가환 대수로서) 일치한다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G;\mathbb {R} )\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Lie} (G);\mathbb {R} )}$

(같은 리 대수에 여러 개의 연결 리 군이 대응할 수 있는데, 이는 꼬임 부분군을 포함하지 않는 실수 계수인 드람 코호몰로지로 구별할 수 없다.)

슈발레-에일렌베르크 복합체

체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 복합체(Chevalley-Eilenberg複合體, 영어: Chevalley–Eilenberg complex)라는 공사슬 복합체로 계산할 수 있다.

구체적으로, ${\displaystyle n}$차 슈발레-에일렌베르크 공사슬(영어: Chevalley–Eilenberg ${\displaystyle n}$-cochain)은 ${\displaystyle K}$-선형 변환

${\displaystyle \hom _{K}\left(\bigwedge ^{n}{\mathfrak {g}};M\right)}$

이며, 그 공경계는 다음과 같다.

${\displaystyle (\delta f)(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1})+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f([x_{i},x_{j}],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1})}$

여기서 ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$는 해당 항을 생략하라는 뜻이다.

만약 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 콤팩트 단일 연결 리 군 ${\displaystyle G}$의 리 대수인 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체는 ${\displaystyle G}$ 위의 ${\displaystyle M}$ 계수 ${\displaystyle G}$-불변 미분 형식의 드람 복합체와 동형이다.

낮은 차원의 리 대수 코호몰로지

0차 코호몰로지

정의에 따라, 0차 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 작용에 대하여 불변인 가군 원소들로 구성된 부분 가군이다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid {\mathfrak {g}}m=0\}}$

1차 코호몰로지

리 대수의 미분(영어: derivation)은 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle R}$-가군 준동형이다.

${\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\to M}$

${\displaystyle \delta [x,y]=x\delta y-y\delta x\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}}$

미분들은 ${\displaystyle R}$-가군을 이루며, 이를 ${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}};M)}$이라고 쓰자.

임의의 가군 원소 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, ${\displaystyle x\mapsto xm\;\forall x\in {\mathfrak {g}}}$는 미분을 이룬다. 이렇게 나타낼 수 있는 미분을 내부 미분(영어: inner derivation)이라고 한다. 내부 미분들 역시 ${\displaystyle R}$-가군을 이루며, 이를 ${\displaystyle \operatorname {IDer} ({\mathfrak {g}};M)}$이라고 쓰자.

그렇다면, 1차 리 대수 코호몰로지는 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 몫가군이다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}({\mathfrak {g}};M)\cong \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}};M)/\operatorname {IDer} ({\mathfrak {g}};M)}$

2차 코호몰로지

2차 리 대수 코호몰로지 군 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {g}};M)}$은 리 대수의 확대

${\displaystyle 0\to M\to {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}\to 0}$

의 동치류들의 아벨 군과 동형이다. (여기서 ${\displaystyle M}$은 아벨 리 대수로 간주한다.)

예

아벨 리 대수

체 ${\displaystyle K}$ 위의 아벨 리 대수 ${\displaystyle V}$와 그 자명한 표현 ${\displaystyle W}$를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 리 괄호가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(V;W)=\hom _{K{\text{-Vect}}}(\bigwedge ^{\bullet }V;W)}$

특히, ${\displaystyle W=K}$라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(V;K)=\bigwedge ^{\bullet }V^{*}}$

이며, ${\displaystyle V}$가 유한 차원일 경우

${\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{\bullet }(V;K)={\binom {\dim V}{\bullet }}}$

이다.

기하학적으로, ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$라고 하고, 아벨 리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (1)^{n}}$을 생각하자. 이는 위상수학적으로 ${\displaystyle n}$차원 원환면이며, 그 드람 코호몰로지는

${\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{\bullet }(\mathbb {T} ^{n})\cong \mathbb {R} ^{\binom {n}{\bullet }}}$

이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. 호지 이론에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 리만 계량을 주었을 때) 조화 형식의 벡터 공간과 표준적으로 동형이다. 평탄한 리만 계량을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변인 것이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응함을 쉽게 알 수 있다.

코쥘 복합체

 이 부분의 본문은 코쥘 복합체입니다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 가군 ${\displaystyle M}$ 및 가군 준동형 ${\displaystyle \phi \in \hom _{R{\text{-Mod}}}(M,R)}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle M}$을 ${\displaystyle R}$ 위의 아벨 리 대수로 여길 수 있으며, 또한 ${\displaystyle R}$ 위에

${\displaystyle m\cdot r=\phi (m)r}$

로 정의하여 ${\displaystyle R}$를 아벨 리 대수 ${\displaystyle M}$의 표현으로 생각하자. 이 경우, ${\displaystyle R}$ 계수의 ${\displaystyle M}$의 슈발레-에일렌베르크 복합체는 ${\displaystyle (R,M,\phi )}$에 대한 코쥘 공사슬 복합체와 같다. 즉, 코쥘 복합체는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다.

2차원 비아벨 리 대수

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{x,y\}}$

${\displaystyle [x,y]=x}$

가 주어졌다고 하자. 이는 가해 리 대수이다. 그렇다면, ${\displaystyle K}$ 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

${\displaystyle \delta _{1}\colon C_{1}\to C_{0}}$

${\displaystyle \delta _{1}\colon x,y\mapsto 0}$

${\displaystyle \delta _{2}\colon C_{2}\to C_{1}}$

${\displaystyle \delta _{2}\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-x}$

즉, ${\displaystyle K}$ 계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}=C_{0}\cong K}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{1}=C_{1}/\operatorname {im} \delta _{2}=\operatorname {Span} \{y\}\cong K}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{2}=\ker \delta _{2}=\{0\}}$

즉, 호몰로지 베티 수는 각각 ${\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} _{0}=1}$, ${\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} _{1}=1}$, ${\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} _{2}=0}$이다. 마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다.

${\displaystyle d_{0}\colon C^{0}\to C^{1}}$

${\displaystyle d_{0}\colon a\mapsto (x,y\mapsto 0)}$

${\displaystyle d_{1}\colon C^{1}\to C^{2}}$

${\displaystyle d_{1}\colon (x\mapsto a,\,y\mapsto b)\mapsto (x\wedge y\mapsto -a)}$

따라서, 코호몰로지의 차원도 ${\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{0}=1}$, ${\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{1}=1}$, ${\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{2}=0}$이다.

3차원 직교 대수

3차원 직교군의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보자. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$의 기저는 다음과 같다. ${\displaystyle [x,y]=z}$

${\displaystyle [y,z]=x}$

${\displaystyle [z,x]=y}$

따라서, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

${\displaystyle \partial _{1}\colon C_{1}\to C_{0}}$

${\displaystyle \partial _{1}\colon x,y,z\mapsto 0}$

${\displaystyle \partial _{2}\colon C_{2}\to C_{1}}$

${\displaystyle \partial _{2}\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-z}$

${\displaystyle \partial _{2}\colon y\wedge z\mapsto -[y,z]=-x}$

${\displaystyle \partial _{2}\colon z\wedge x\mapsto -[z,x]=-y}$

${\displaystyle \partial _{3}\colon C_{3}\to C_{2}}$

${\displaystyle \partial _{3}\colon x\wedge y\wedge z\mapsto 0}$

따라서, 이 경우

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{0}=1}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{1}=0}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{2}=0}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{3}=1}$

이다. 리 군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\operatorname {Spin} (3)}$은 3차원 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$와 위상 동형이며, 위 값들은 3차원 초구의 베티 수와 일치한다.

역사

클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크가 1948년에 도입하였다.^[1]