리 초대수 표현

리 초대수 이론에서, 리 초대수의 표현(表現, 영어: representation)은 어떤 리 초대수의 원소들을 초행렬들로 나타내는 것이다.^{[1]:§§32–40, §60} 추상적으로, 이는 리 초대수에서, 어떤 초벡터 공간 위의 선형 초대수로 가는 리 초대수 준동형이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 초벡터 공간 ${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}}$ 위의 선형 초대수(영어: linear superalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V;K)}$를 생각하자. 이는 모든 초행렬

${\displaystyle M\colon V\to V}$

들로 구성되는 리 초대수이다. 그 보손 성분은

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{0}(V;K)={\mathfrak {gl}}(V_{0};K)\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{1};K)}$

이며, 그 페르미온 성분은

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{1}(V;K)=V_{0}\otimes _{K}V_{1}\oplus V_{1}\otimes _{K}V_{0}}$

이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$의 표현은 어떤 초벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 선형 초대수로 가는 ${\displaystyle K}$-리 초대수 준동형

${\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

이다.^[1]:§32

즉, 구체적으로 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 리 대수의 표현 ${\displaystyle \rho _{00}\colon {\mathfrak {g}}_{0}\to {\mathfrak {gl}}(V_{0};K)}$
• 리 대수의 표현 ${\displaystyle \rho _{11}\colon {\mathfrak {g}}_{0}\to {\mathfrak {gl}}(V_{1};K)}$
• ${\displaystyle K}$-선형 변환 ${\displaystyle \rho _{01}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\to V_{0}\otimes V_{1}}$
• ${\displaystyle K}$-선형 변환 ${\displaystyle \rho _{10}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\to V_{0}\otimes V_{1}}$

이는 네 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle \rho _{00}(\{X,Y\})=\rho _{01}(X)\rho _{10}(Y)+\rho _{01}(Y)\rho _{10}(X)\qquad (X,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})}$
• ${\displaystyle \rho _{11}(\{X,Y\})=\rho _{10}(X)\rho _{01}(Y)+\rho _{10}(Y)\rho _{01}(X)\qquad (X,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})}$
• ${\displaystyle \rho _{01}([X,Y])=\rho _{00}(X)\rho _{01}(Y)-\rho _{01}(Y)\rho _{11}(X)\qquad (X\in {\mathfrak {g}}_{0},\,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})}$
• ${\displaystyle \rho _{10}([X,Y])=\rho _{11}(X)\rho _{10}(Y)-\rho _{10}(Y)\rho _{00}(X)\qquad (X\in {\mathfrak {g}}_{0},\,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})}$

(${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}_{0}}$인 경우는 리 대수의 표현의 정의에 포함된다.)

예

임의의 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 및 초벡터 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여, 값이 0인 상수 함수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$는 자명하게 리 초대수의 표현을 이룬다. 이를 자명한 표현(영어: trivial representation)이라고 한다.

모든 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 스스로 위의 표현

${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}(X)=[X,-\}}$

을 갖는다. 이를 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 딸림표현이라고 한다.^[1]:§32

리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$에서, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}=\{0\}}$인 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의, 초벡터 공간 ${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}}$ 위의 표현은 단순히 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$의 두 개의 (${\displaystyle V_{0}}$과 ${\displaystyle V_{1}}$ 위의) 표현에 불과하다.

같이 보기

• 등급 가군
• 리 대수의 표현