마요라나 스피너

이론물리학과 표현론에서 마요라나 스피너(영어: Majorana spinor)는 특정 차원과 부호수에서 존재하는, 스핀 군의 실수 표현이다.^{[1]:Chapter 3[2]} 마요라나 페르미온의 가능성을 제시하는 물리학적 모형이다.

정의

${\displaystyle (s,t)}$차원의 부호수의 내적을 갖는 실수 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{s,t}}$ 위의 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)}$를 생각하자. 즉,

${\displaystyle \{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\}=2\eta ^{ij}}$

에서, ${\displaystyle \eta }$는 ${\displaystyle s}$개의 +부호와 ${\displaystyle t}$개의 −부호를 갖는다. 또한, 그 속에서 짝수 개의 ${\displaystyle \gamma }$만을 포함하는 항들로 구성된 부분 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{+}(s,t)\subseteq \operatorname {Cl} (s,t)}$가 존재한다.

그렇다면, 실수 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)}$는 다음과 같이 분류되며, 이는 스피너와 감마 행렬의 성질을 결정한다.

${\displaystyle (s-t){\bmod {8}}}$	${\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)}$	${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{+}(s;t)}$	스피너의 성질	감마 행렬의 성질
±4	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N/4;\mathbb {H} )\oplus \operatorname {Mat} (N/4;\mathbb {H} )}$	바일 스피너 (심플렉틱-마요라나-바일 스피너)	복소수 ${\displaystyle N\times N}$
+3	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}$	디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너)	복소수 ${\displaystyle N\times N}$
+2	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )}$	마요라나 스피너, 바일 스피너	실수 ${\displaystyle N\times N}$
+1	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}$	마요라나 스피너	실수 ${\displaystyle N\times N}$
±0	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {R} )}$	마요라나-바일 스피너	실수 ${\displaystyle N\times N}$
−1	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N;\mathbb {R} )}$	마요라나 스피너	허수 ${\displaystyle N\times N}$
−2	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )}$	마요라나 스피너, 바일 스피너	허수 ${\displaystyle N\times N}$
−3	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {H} )}$	디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너)	복소수 ${\displaystyle N\times N}$

여기서

${\displaystyle N(s,t)=2^{\lfloor (s+t)/2\rfloor }}$

는 디랙 스피너의 복소수 차원이며, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {H} }$는 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수를 뜻한다.

위 표에서,

• ${\displaystyle \operatorname {Cl} (s,t)}$의 계수 ${\displaystyle \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}}$는 감마 행렬의 성질을 결정한다.
  • 계수가 ${\displaystyle \mathbb {R} }$인 경우 (즉, ${\displaystyle s-t\in \{0,6,7\}}$, 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Pin} (s,t)}$의 실수 표현이 존재한다. 이를 마요라나 피너(영어: Majorana pinor)라고 한다.
  • 만약 계수가 ${\displaystyle \mathbb {R} }$가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 계수가 ${\displaystyle \mathbb {R} }$라면 (즉, ${\displaystyle \operatorname {Cl} (t,s)}$가 마요라나 피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 유사 마요라나 피너(영어: pseudo-Majorana pinor)라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다.
  • 계수가 ${\displaystyle \mathbb {H} }$일 경우, 만약 ${\displaystyle 2k}$ 개의 디랙 스피너가 존재하며, 이 ${\displaystyle 2k}$ 차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는 ${\displaystyle k}$차원 사원수 벡터 공간 위의 표현을 이룬다. 이를 심플렉틱-마요라나 피너(영어: symplectic-Majorana pinor)라고 한다.
• ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{+}(s,t)}$의 계수는 스피너의 성질을 결정한다.

성질

디랙 스피너의 실수 조건

${\displaystyle n}$차원 시공간의 디랙 피너(영어: Dirac pinor)는 복소수 클리퍼드 대수

${\displaystyle \operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )={\begin{cases}\operatorname {Mat} (N;\mathbb {C} )&2\nmid n\\\operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Mat} (N/2;\mathbb {C} )&2\mid n\end{cases}}}$

${\displaystyle N=2^{\lfloor n/2\rfloor }}$

의 ${\displaystyle N}$차원 정의 표현이다. 만약 ${\displaystyle n}$이 짝수인 경우, 이는 두 개의 ${\displaystyle N/2}$차원 바일 피너(영어: Weyl pinor)로 분해된다.

복소수 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )}$는 에르미트 형식

${\displaystyle \langle -|-\rangle }$

을 가지며, 이는

${\displaystyle \langle \gamma ^{\mu }\psi |\chi \rangle =\pm \langle \psi |\gamma ^{\mu }\chi \rangle }$

를 만족시킨다. (여기서 ${\displaystyle \pm }$는 ${\displaystyle n}$의 값에만 의존한다.)

이제, 어떤 부호 ${\displaystyle \tau \in \{\pm 1\}}$를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 쌍선형 형식 ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$가 존재하는지 여부를 따질 수 있다.

${\displaystyle {\mathsf {C}}(\gamma ^{\mu }\psi ,\chi )=\pm {\mathsf {C}}(\psi ,\gamma ^{\mu }\chi )}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,\chi )=\pm {\mathsf {C}}(\chi ,\psi )}$ (복부호 동순이 아님)

이 경우, 만약 ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약 ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다.

만약 디랙 피너 공간 ${\displaystyle V}$가 실수 구조를 갖는다면,

${\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \psi |-\rangle \in V^{*}}$

를 만족시키는 디랙 피너를 마요라나 스피너라고 한다.

만약 디랙 피너 공간 ${\displaystyle V}$가 사원수 구조를 갖는다면,

${\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \psi |-\rangle \in V^{*}}$

를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 심플렉틱 벡터 공간 ${\displaystyle (W,\Omega )}$에 대하여, ${\displaystyle V\otimes W}$ 위에서,

${\displaystyle {\mathsf {C}}(\psi ,-)=\langle \Omega \psi ,-\rangle }$

를 만족시키는 디랙 피너를 심플렉틱-마요라나 스피너라고 한다.

감마 행렬의 실수성

마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.

물리학적 성질

마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다.

만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 바일 스피너로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.

예

1차원

1차원에서는

${\displaystyle \operatorname {Cl} (1,0)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (0,1)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (1;\mathbb {R} )}$

이다. 즉, 부호수가 ${\displaystyle (s,t)=(1,0)}$일 때는 마요라나 스피너가 존재하며, 이 경우 감마 행렬은

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}}$

이다.

2차원

2차원에서는

${\displaystyle \operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {U} (1)}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (1,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {R} }$

이며, 이 경우 클리퍼드 대수는

${\displaystyle \operatorname {Cl} (1,1)=\operatorname {Cl} (0,2)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (2,0)=\operatorname {Mat} (1;\mathbb {H} )}$

이다. 즉, 부호수 ${\displaystyle (t,s)=(1,1)}$일 때,

${\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

로 놓으면,

${\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-1}$

${\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=1}$

${\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1}\}=0}$

이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

마찬가지로, 부호수 ${\displaystyle (s,t)=(0,2)}$일 때,

${\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{1}}$

${\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{3}}$

로 놓으면,

${\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=\{\gamma ^{2},\gamma ^{2}\}=1}$

${\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{2}\}=0}$

이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

3차원

3차원에서, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} (0,3)=\mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (1,2)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (2,1)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (3,0)=\operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}$

부호수 ${\displaystyle (s,t)=(2,1)}$일 때,

${\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

는 완전히 실수인 감마 행렬을 이룬다. 이는 (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현의 존재는 동형 사상

${\displaystyle \operatorname {Spin} (2,1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}$

에서 비롯한다.

마찬가지로, ${\displaystyle (s,t)=(1,2)}$일 때, 위 행렬들에 모두 ${\displaystyle \mathrm {i} }$를 곱하면, 이는 (2,1)차원의 유사 마요라나 스피너 위에 작용하는 완전 허수 감마 행렬을 이룬다.

${\displaystyle (t,s)=(0,3)}$ 또는 ${\displaystyle (3,0)}$일 때는 순수 실수 감마 행렬이 존재할 수 없다. 이 경우, 파울리 행렬

${\displaystyle \sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}}$

은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다.

다만, 부호수 ${\displaystyle (s,t)=(0,3)}$에서, 만약 짝수 개의 스피너가 존재할 경우, 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 이는 리 군의 동형 사상

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {USp} (1;\mathbb {R} )=\operatorname {U} (1;\mathbb {H} )}$

에서 유래한다. 즉, 부호수 ${\displaystyle (s,t)=(0,3)}$의 경우, 사원수 감마 행렬

${\displaystyle \gamma ^{-2}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \gamma ^{-1}={\begin{pmatrix}\mathrm {j} \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}\mathrm {k} \end{pmatrix}}}$

를 정의하면,

${\displaystyle \{\gamma ^{-2},\gamma ^{-2}\}=\{\gamma ^{-1},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-2}$

${\displaystyle \{\gamma ^{-2},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{-1},\gamma ^{0}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{-2}\}=0}$

이다.

4차원

4차원에서의 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} (4,0)\cong \operatorname {Cl} (0,4)\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {H} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (1,3)\cong \operatorname {Cl} (2,2)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (3,1)\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {H} )}$

즉,

• 부호수 (0,4)일 때(유클리드 공간)는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다.
• 부호수 (1,3)일 때(민코프스키 공간)는 마요라나 스피너가 존재한다.
• 부호수 (2,2)일 때는 마요라나-바일 스피너가 존재한다.

예를 들어, ${\displaystyle (s,t)=(3,1)}$차원일 때 (대부분 +부호 계량의 4차원 민코프스키 공간),

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&1_{2\times 2}\\-1_{2\times 2}&0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes 1_{2\times 2}}$

${\displaystyle \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}1_{2\times 2}&0\\0&-1_{2\times 2}\end{pmatrix}}=\sigma ^{3}\otimes 1_{2\times 2}}$

${\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{1}\\\sigma ^{1}&0\end{pmatrix}}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}}$

${\displaystyle \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{3}\\\sigma ^{3}&0\end{pmatrix}}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{3}}$

는 순수 실수 감마 행렬을 이룬다. 이 표현의 존재는 실수 리 대수의 동형

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\cong \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$

에서 유래한다. 여기서 ${\displaystyle \otimes }$는 두 2×2 행렬의 크로네커 곱이다.

부호수가 ${\displaystyle (s,t)=(2,2)}$일 때, 실수 리 대수 동형

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$

이 존재한다. 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이 경우,

${\displaystyle \gamma ^{-1}=\sigma ^{1}\otimes \mathrm {i} \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}=\mathrm {i} \sigma ^{2}\otimes 1_{2\times 2}}$

${\displaystyle \gamma ^{1}=\sigma ^{3}\otimes 1_{2\times 2}}$

${\displaystyle \gamma ^{2}=\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}}$

를 적으면,

${\displaystyle \{\gamma ^{-1},\gamma ^{-1}\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{0}\}=-2}$

${\displaystyle \{\gamma ^{1},\gamma ^{1}\}=\{\gamma ^{2},\gamma ^{2}\}=2}$

${\displaystyle \{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\}=0\qquad (i\neq j)}$

이다.

부호수 ${\displaystyle (s,t)=(4,0)}$일 때,

${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {U} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {U} (1;\mathbb {H} )}$

에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다.

5차원

5차원에서 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} (3,2)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )\oplus \operatorname {Mat} (4;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (0,5)\cong \operatorname {Cl} (2,3)\cong \operatorname {Cl} (1,4)\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (1,4)\cong \operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )}$

즉, 부호수가 ${\displaystyle (s,t)=(3,2)}$일 때는 실수 4차원의 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 5차원 회전군의 특수한 동형

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3,2)\cong \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}$

에서 기인한다.

다른 부호수의 경우,

${\displaystyle \operatorname {Spin} (4,1)\cong \operatorname {USp} (2,2)}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)}$

으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.

6차원

6차원에서 실수 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} (0,6)=\operatorname {Cl} (3,3)=\operatorname {Cl} (4,2)=\operatorname {Mat} (8;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (1,5)=\operatorname {Cl} (2,4)=\operatorname {Cl} (6,0)=\operatorname {Mat} (4;\mathbb {H} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (5,1)=\operatorname {Mat} (8;\mathbb {C} )}$

즉, 부호수 ${\displaystyle (s,t)=(0,6),(3,3),(4,2)}$일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 실수 리 대수의 동형

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(4;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,4)\cong \operatorname {su} (2,2)}$

에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는 ${\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}$의 정의 표현이다.

부호수 (1,5)의 경우, 실수 리 대수의 동형

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(1,5)\cong {\mathfrak {su}}^{*}(4)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {H} )}$

로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.

역사

에토레 마요라나의 이름을 땄다.

응용

물리학의 표준 모형에서, 중성미자를 제외한 모든 입자는 바일 스피너이다 (즉, 마요라나 질량항을 갖지 않는다). 다만, 중성미자는 마요라나 스피너를 이룰 가능성이 있다.