마티외 군

군론에서 마티외 군(Mathieu群, 영어: Mathieu group) ${\displaystyle M_{11}}$, ${\displaystyle M_{12}}$, ${\displaystyle M_{22}}$, ${\displaystyle M_{23}}$, ${\displaystyle M_{24}}$는 각각 11개·12개·22개·23개·24개의 원소들 위의 대칭군의 부분군으로 나타낼 수 있는 5개의 산재군이다.

정의

마티외 군 ${\displaystyle M_{11}}$, ${\displaystyle M_{12}}$, ${\displaystyle M_{22}}$, ${\displaystyle M_{23}}$, ${\displaystyle M_{24}}$는 5개의 유한 단순군이다. ${\displaystyle M_{k}}$는 각각 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (k)}$의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 구체적으로 다음과 같이 작도할 수 있다.

슈타이너 계를 통한 정의

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ 위의 아핀 평면 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {F} _{p^{n}}}^{2}}$에서, 2개의 직선은 유일한 점을 결정하므로, 이는 슈타이너 계 ${\displaystyle S(2,p^{n},p^{2n})}$를 이룬다. 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ 위의 아핀 평면은 슈타이너 계 ${\displaystyle S(2,3,9)}$를 이루며, 이 슈타이너 계는 유일하다. ${\displaystyle S(2,3,9)}$에 점들을 추가하여, ${\displaystyle S(3,4,10)}$, ${\displaystyle S(4,5,11)}$, ${\displaystyle S(5,6,12)}$를 만들 수 있다. 이들 역시 동형에 대하여 유일하다.

슈타이너 계 ${\displaystyle S(5,6,12)}$의 자기 동형군은 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (12)}$의 부분군이며, 이는 ${\displaystyle M_{12}}$와 같다. 즉, 마티외 군 ${\displaystyle M_{12}}$ 크기 12의 집합 ${\displaystyle \{1,2,\dots ,12\}}$에 작용하며, 이 작용은 5-정추이적(영어: sharply 5-transitive)이다. 따라서, ${\displaystyle k=1,2,3,4,5}$에 대하여, 점들의 ${\displaystyle k}$-튜플에 대한 안정자군은 튜플의 선택에 관계없이 서로 동형이다. 이로서 6개의 군

${\displaystyle M_{12-k}\qquad (k=0,1,2,3,4,5)}$

을 정의할 수 있으며, 마지막 군 ${\displaystyle M_{7}}$은 자명군이다.

슈타이너 계 ${\displaystyle S(5,8,24)}$ 역시 유일하며, 이를 비트 디자인(영어: Witt design)이라고 한다. 이 슈타이너 계의 자기 동형군은 마티외 군 ${\displaystyle M_{24}}$와 동형이며, ${\displaystyle M_{24}}$의 크기 24의 집합 위의 작용은 5-추이적(영어: transitive)이지만 5-정추이적이지 않다. 위와 마찬가지로, 1~5개의 점들에 대한 안정자군을 취하여, 6개의 군

${\displaystyle M_{24-k}\qquad (k=0,1,2,3,4,5)}$

을 정의할 수 있다. 작용이 정추이적이지 않으므로, 마지막 군 ${\displaystyle M_{19}}$는 자명군이 아니다.

이 군들 가운데, 오직 ${\displaystyle M_{24}}$, ${\displaystyle M_{23}}$, ${\displaystyle M_{22}}$, ${\displaystyle M_{21}}$, ${\displaystyle M_{12}}$, ${\displaystyle M_{11}}$만이 단순군이고, 이 가운데 ${\displaystyle M_{21}}$은 예외적인 동형으로 인하여 산재군이 아니다.

순열군으로서의 표현

체 ${\displaystyle K}$ 위의 사영 특수선형군 ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(K)}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 사영 직선 ${\displaystyle K\sqcup \{\infty \}}$ 위의 분수선형변환(뫼비우스 변환)들의 군과 같다.

M₁₂

크기 144×660의 마티외 군 ${\displaystyle M_{12}}$는 크기 660의 사영 특수선형군 ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{11})}$을 부분군으로 가지며, 이는 극대 부분군이다. ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{11})}$를 사영 직선 ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{11}}^{1}}$ 위의 순열군으로 나타내자. 그렇다면, ${\displaystyle M_{12}\setminus \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{11})}$에 속하는 임의의 한 원소만을 제시하면, 이로부터 ${\displaystyle M_{12}}$가 생성된다. 이러한 원소의 예로는 다음이 있다.

• (0123456789A)
• (1A)(25)(37)(48)(69)
• (26A7)(3945)

여기서

${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{11}}^{1}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm {A} ,\infty \}}$

이다.

M₂₄

크기가 40320×6072인 군 ${\displaystyle M_{24}}$는 크기가 6072인 부분군 ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{23})}$을 가지며, 이는 극대 부분군이다. 따라서, 마찬가지로 ${\displaystyle M_{24}\setminus \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{23})}$에 속하는 임의의 원소를 제시하면 ${\displaystyle M_{24}}$가 완전히 결정된다. 이러한 원소의 예로는 다음이 있다.

• (0123456789ABCDEFGHIJKLM)
• (0∞)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI)
• (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF)

여기서

${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{23}}^{1}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} ,\mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} ,\mathrm {G} ,\mathrm {H} ,\mathrm {I} ,\mathrm {J} ,\mathrm {K} ,\mathrm {L} ,\mathrm {M} ,\infty \}}$

이다.

이진 골레 부호로의 작도

이진 골레 부호는 24차원 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{24}}$의 특별한 12차원 부분 공간이다. 이진 골레 부호의 자기 동형군은 마티외 군 ${\displaystyle M_{24}}$와 동형이다.

이진 골레 부호는 12비트의 정보를 24비트의 부호에 저장한다. 12개의 비트 1로 구성된 부호(영어: dodecad)의 안정자군은 마티외 군 ${\displaystyle M_{12}}$와 동형이다.

성질

마티외 군들의 크기와 성질은 다음과 같다.

군	크기	성질
M24	48·20·21·22·23·24	5-추이군, 단순군
M23	48·20·21·22·23	4-추이군, 단순군
M22	48·20·21·22	3-추이군, 단순군
M21 = PSL3(𝔽4)	48·20·21	2-추이군, 단순군
M20	48·20	단순군이 아님
M19	48	단순군이 아님
M12	8·9·10·11·12	5-정추이군, 단순군
M11	8·9·10·11	4-정추이군, 단순군
M10	8·9·10	3-정추이군. 단순군이 아님
M9 = PSU3(𝔽4/𝔽2)	8·9	2-정추이군. 단순군이 아님
M8 = Q8	8	사원수군. 1-정추이군. 단순군이 아님
M7 = 1	1	자명군

마티외 군 ${\displaystyle M_{19}}$는 구체적으로 다음과 같은 꼴의 행렬군이다.^[1]:4

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&0&0\\b&a^{-1}&0\\c&0&1\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {F} _{4}^{\times },\;b,c\in \mathbb {F} _{4}\right\}}$

다중 추이군

임의의 유한군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 순환군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$은 항상 ${\displaystyle n}$-정추이군(영어: sharply ${\displaystyle n}$-transitive group)이며, 교대군 ${\displaystyle \operatorname {Alt} (n+2)}$ 역시 ${\displaystyle n}$-정추이군이다.

• 모든 6-추이군은 순환군이나 교대군이다.
• 순환군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데, 5-추이군인 것은 ${\displaystyle M_{24}}$와 ${\displaystyle M_{12}}$밖에 없으며, 이 가운데 ${\displaystyle M_{12}}$만이 5-정추이군이다.
• 순환군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데, 4-추이군이지만 5-추이군이 아닌 것은 ${\displaystyle M_{23}}$과 ${\displaystyle M_{11}}$밖에 없으며, 이 가운데 ${\displaystyle M_{11}}$만이 4-정추이군이다.

역사

프랑스의 수학자 에밀 마티외(영어: Émile Mathieu)가 1861년 논문^[2]에서 ${\displaystyle M_{12}}$^[2]:271와 ${\displaystyle M_{24}}$^[2]:274를 최초로 언급하였고, 이후 1873년에 이들 두 군에 대한 추가 성질들을 제시하였다.^[3]

그러나 마티외가 제시한 두 군이 실재하는지, 이들이 교대군과 동형이 아닌지는 이후 수십 년 동안 논란의 대상이었다. 1898년에 미국의 수학자 조지 에이브럼 밀러(영어: George Abram Miller, 1863~1951)는 ${\displaystyle M_{24}}$가 존재하지 않는다는 "증명"을 발표하였으나,^[4] 이후 1900년에 자신이 "증명"이 오류였음을 시인하였다.^[5]

1938년에 에른스트 비트(독일어: Ernst Witt)가 마티외 군들을 슈타이너 계의 자기 동형군으로 나타내었고, 마티외 군에 대한 논란을 종식시켰다.^[6][7]

마티외 군들은 산재군들 가운데 최초로 발견된 것이었으며, 1965년에 얀코 군 ${\displaystyle J_{1}}$이 발견되기 이전에 알려진 유일하게 알려진 산재군이었다.