린델뢰프 공간

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일반위상수학에서 린델뢰프 공간(Lindelöf空間, 영어: Lindelöf space)은 콤팩트 공간의 유한 부분 열린 덮개 조건을 가산 개의 부분 덮개 조건으로 약화시킨 조건을 만족시키는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle L({\mathcal {U}})}$를 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 부분 덮개의 최소 크기인 기수라고 하자.

${\displaystyle L({\mathcal {U}})=\min _{{\mathcal {U}}'\subseteq {\mathcal {U}}}^{\bigcup {\mathcal {U}}'=X}|{\mathcal {U}}'|}$

(기수 위의 순서는 정렬 순서이므로 이 최솟값은 항상 존재한다.) 위상 공간 ${\displaystyle X}$의 린델뢰프 수(Lindelöf數, 영어: Lindelöf number) ${\displaystyle L(X)}$는 모든 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$에 대한 ${\displaystyle L({\mathcal {U}})}$의 상한이다.

${\displaystyle L(X)=\sup _{{\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {T}}(X)}^{\bigcup {\mathcal {U}}=X}L({\mathcal {U}})}$

린델뢰프 수가 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ 이하인 위상 공간을 린델뢰프 공간(영어: Lindelöf space)이라고 한다. 즉, 린델뢰프 공간은 모든 열린 덮개가 가산 부분 덮개를 갖는 위상 공간이다.^[1]:192

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

제2 가산 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

이 밖에도, 린델뢰프성은 다른 위상 공간 성질과 다음과 같은 함의 관계를 갖는다.

• 린델뢰프 가산콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• (모리타 정리 영어: Morita’s theorem) 정칙 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.^[1]:257[2]
• 제1 가산 공간인 위상군이 린델뢰프 공간이면 제2 가산 공간이다.^[1]:195
• 거리화 가능 공간의 경우, 린델뢰프 공간, 분해 가능 공간, 제2 가산 공간은 모두 동치인 개념이다.
• 린델뢰프 국소 콤팩트 공간은 반콤팩트 공간이다.

린델뢰프성을 보존하는 연산

• 린델뢰프 공간의 닫힌 집합은 린델뢰프 집합이다.^[1]:194
• 린델뢰프 공간의 연속적 상은 린델뢰프 공간이다. 즉, 린델뢰프 공간 ${\displaystyle X}$과 위상 공간 ${\displaystyle Y}$ 사이에 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 존재한다면, ${\displaystyle f}$의 치역 ${\displaystyle f(X)}$는 린델뢰프 공간이다.^[1]:194
• 콤팩트 공간과 린델뢰프 공간의 곱공간은 린델뢰프 공간이다.^[1]:194

린델뢰프 공간에 대하여, 티호노프 정리가 성립하지 않는다. 즉, 린델뢰프 공간들의 곱공간이 항상 린델뢰프 공간이 되는 것은 아니다.

예

조르겐프라이 직선의 스스로에 대한 곱공간을 조르겐프라이 평면이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 완전 정규 하우스도르프 린델뢰프 파라콤팩트 공간이지만, 조르겐프라이 평면은 린델뢰프 공간이 아니다. 따라서 린델뢰프 공간에 대하여 티호노프 정리가 성립하지 않음을 알 수 있다.

역사

핀란드의 수학자 에른스트 레오나르드 린델뢰프(스웨덴어: Ernst Leonard Lindelöf)가 도입하였다.