모리타 동치
환
위의 오른쪽 가군
가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥
을 다음과 같이 정의할 수 있다.


, 
, 
가 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주
의 생성 대상이라고 하자. 그렇다면,
에 대응되는 모리타 문맥
에 대하여,
는 범주의 동치를 이룬다.
는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다.
반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주
의 생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치

가 주어졌을 때,


로 놓으면,
는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주
의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는
에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.


또한, 임의의 두 환
에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다.
- 가법 동치
의 (자연 동형에 대한) 동형류
- 다음 두 조건을 만족시키는
-쌍가군
들의 동형류
이와 같이, 두 환
,
위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 모리타 동치(영어: Morita-equivalent)라고 하며,

로 표기한다.
모리타 쌍대성
쌍가군
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.


이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다.

수반 함자의 성분인 자연스러운 사상

이 동형 사상일 경우,
-오른쪽 가군
를
-반사 가군(영어:
-reflexive module)이라고 하자. 마찬가지로
-왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를
및
로 표기하자. 이 경우,
와
는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다.
아벨 범주
의 충만한 부분 가법 범주
가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다.
- 짧은 완전열
에 대하여,
라면
이다.
쌍가군
에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.
는
의 세르 부분 범주이며,
는
의 세르 부분 범주이며,
이며,
이다.
,
,
,
의 모든 몫가군은
-반사 가군이다.
는 단사 가군이자
의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로
는 단사 가군이자
의 쌍대 생성 대상이며, 또한
는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다.
이 경우,
가 모리타 쌍대성(영어: Morita duality)을 정의한다고 한다.
또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은
-반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는
및
에 대하여,
-반사 가군인지 여부는
-반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은
에 의존하지 않는다.
모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.