모리타 동치

환론에서 모리타 동치([森田]同値, 영어: Morita equivalence)는 두 환 위의 가군 범주가 서로 동치가 되는 현상이다.

정의

모리타 동치

환 ${\displaystyle R}$ 위의 오른쪽 가군 ${\displaystyle U_{R}}$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥 ${\displaystyle (R,S,U,V,\phi ,\psi )}$을 다음과 같이 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle S=\hom _{R}(U_{R},U_{R})}$
• ${\displaystyle {}_{R}V=\hom _{R}(_{S}U_{R},_{R}R_{R})}$
• ${\displaystyle \phi \colon U\otimes _{R}V\to S}$, ${\displaystyle (u\otimes v)\mapsto (u'\mapsto uv(u'))}$
• ${\displaystyle \psi \colon V\otimes _{S}U\to R}$, ${\displaystyle (v\otimes u)\mapsto v(u)}$

${\displaystyle U_{R}}$가 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$의 생성 대상이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle U_{R}}$에 대응되는 모리타 문맥 ${\displaystyle (R,S,U,V,\phi ,\chi )}$에 대하여,

• ${\displaystyle \otimes _{R}V_{S}\colon \operatorname {Mod} _{R}\rightleftarrows \operatorname {Mod} _{S}\colon \otimes _{S}U_{R}}$는 범주의 동치를 이룬다.
• ${\displaystyle _{S}U\otimes _{R}\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \rightleftarrows {}_{S}\operatorname {Mod} _{S}\colon _{S}V\otimes _{R}}$는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다.

반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의하여 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$의 생성 대상인 가군에 의하여 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치

${\displaystyle F\colon \operatorname {Mod} _{R}\rightleftarrows \operatorname {Mod} _{S}\colon G}$

가 주어졌을 때,

• ${\displaystyle _{S}U_{R}=G(_{S}S_{S})}$
• ${\displaystyle _{R}V_{S}=F(_{R}R_{R})}$

로 놓으면, ${\displaystyle U_{R}}$는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는 ${\displaystyle U_{R}}$에 의하여 생성되는 모리타 문맥에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

${\displaystyle F\cong \otimes _{R}V}$

${\displaystyle G\cong \otimes _{S}U}$

또한, 임의의 두 환 ${\displaystyle (R,S)}$에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 일대일 대응한다.

• 가법 동치 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Mod} _{S}}$의 (자연 동형에 대한) 동형류
• 다음 두 조건을 만족시키는 ${\displaystyle (S,R)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{S}U_{R}}$들의 동형류
  • ${\displaystyle U_{R}}$는 사영 가군이며, 유한 생성 가군이며, 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$의 생성 대상이다.
  • ${\displaystyle _{S}U_{R}}$는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군이다.

이와 같이, 두 환 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$ 위의 가군 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 모리타 동치(영어: Morita-equivalent)라고 하며,

${\displaystyle R\approx S}$

로 표기한다.

모리타 쌍대성

쌍가군 ${\displaystyle _{S}U_{R}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \hom _{R}\left((-)_{R},_{S}U_{R}\right)\colon \operatorname {Mod} _{R}\to {}_{S}\operatorname {Mod} ^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle \hom _{S}\left(_{S}(-),_{S}U_{R}\right)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Mod} _{R}^{\operatorname {op} }}$

이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다.

${\displaystyle \hom _{R}\left((-)_{R},_{S}U_{R}\right)\dashv \hom _{S}\left(_{S}(-),_{S}U_{R}\right)}$

수반 함자의 성분인 자연스러운 사상

${\displaystyle M_{R}\to \hom _{S}\left(\hom _{R}(M_{R},_{S}U_{R}),_{S}U_{R}\right)}$

이 동형 사상일 경우, ${\displaystyle R}$-오른쪽 가군 ${\displaystyle M_{R}}$를 ${\displaystyle U}$-반사 가군(영어: ${\displaystyle U}$-reflexive module)이라고 하자. 마찬가지로 ${\displaystyle S}$-왼쪽 가군에 대하여 마찬가지로 반사 가군의 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}[U]}$ 및 ${\displaystyle _{S}\operatorname {Mod} [U]}$로 표기하자. 이 경우, ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}[U]}$와 ${\displaystyle _{S}\operatorname {Mod} [U]^{\operatorname {op} }}$는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다.

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 충만한 부분 가법 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다.

짧은 완전열 ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$에 대하여, ${\displaystyle A,C\in {\mathcal {C}}}$라면 ${\displaystyle B\in {\mathcal {C}}}$이다.

쌍가군 ${\displaystyle _{S}U_{R}}$에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}[U]}$는 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$의 세르 부분 범주이며, ${\displaystyle _{S}\operatorname {Mod} [U]}$는 ${\displaystyle _{S}\operatorname {Mod} }$의 세르 부분 범주이며, ${\displaystyle R_{R}\in \operatorname {Mod} _{R}[U]}$이며, ${\displaystyle _{S}S\in _{S}\operatorname {Mod} [U]}$이다.
• ${\displaystyle R_{R}}$, ${\displaystyle U_{R}}$, ${\displaystyle _{S}S}$, ${\displaystyle _{S}U}$의 모든 몫가군은 ${\displaystyle U}$-반사 가군이다.
• ${\displaystyle U_{R}}$는 단사 가군이자 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로 ${\displaystyle _{S}U}$는 단사 가군이자 ${\displaystyle _{S}\operatorname {Mod} }$의 쌍대 생성 대상이며, 또한 ${\displaystyle _{S}U_{R}}$는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다.

이 경우, ${\displaystyle U}$가 모리타 쌍대성(영어: Morita duality)을 정의한다고 한다.

또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은 ${\displaystyle U}$-반사 가군이다. 또한, 위 조건을 만족시키는 ${\displaystyle U}$ 및 ${\displaystyle U'}$에 대하여, ${\displaystyle U}$-반사 가군인지 여부는 ${\displaystyle U'}$-반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은 ${\displaystyle U}$에 의존하지 않는다.

모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.

예

모든 환 ${\displaystyle R}$ 및 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle R}$는 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)}$와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 모리타 문맥은 ${\displaystyle R}$-자유 가군 ${\displaystyle U=R^{\oplus n}}$에 의하여 생성된다. 즉,

• ${\displaystyle S=\operatorname {End} _{R}(R^{\oplus n})=\operatorname {Mat} (n;R)}$
• ${\displaystyle _{R}U_{S}=R^{\oplus n}}$. 이는 행벡터(=${\displaystyle 1\times n}$ 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
• ${\displaystyle _{S}V_{R}=R^{\oplus n}}$. 이는 열벡터(=${\displaystyle n\times 1}$ 행렬) 쌍가군으로 생각할 수 있다.
• ${\displaystyle \phi \colon _{R}U\otimes _{S}V_{R}\to {}_{R}R_{R}}$는 행벡터와 열벡터의 스칼라곱이다.
• ${\displaystyle \psi \colon _{S}V\otimes _{R}U_{S}\to _{S}S_{S}}$는 열벡터와 행벡터의 외적이다.

아르틴-웨더번 정리에 따라서, 모든 반단순환 ${\displaystyle R}$는 유한 개의 나눗셈환 ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{k}}$ 위의 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n_{i},D_{i})}$들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다.

${\displaystyle R\cong \operatorname {Mat} (n_{1};D_{1})\times \cdots \times \operatorname {Mat} (n_{k};D_{k})\approx D_{1}\times \cdots \times D_{k}}$

역사

모리타 동치와 모리타 쌍대성은 모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 도입하였다.^[1]