미분 리 대수

이 문서는 어떤 이항 연산에 대하여 곱 규칙을 따르는 선형 변환으로 구성된 리 대수에 관한 것입니다. 사슬 복합체 구조를 갖는 리 초대수에 대해서는 미분 등급 리 대수 문서를 참고하십시오.

리 대수 이론에서, 미분 리 대수(微分Lie代數, 영어: derivation Lie algebra)는 어떤 쌍선형 이항 연산에 대한, 곱 규칙을 따르는 미분 연산들로 구성된 리 대수이다.^{[1]:AⅢ.117, §Ⅲ.10.2[2]:383, Chapter 16[3]:190, §25} 대략, 이 대수 구조의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle A_{0},A_{1}}$. ${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$로 표기하자.
• ${\displaystyle K}$-가군 준동형 ${\displaystyle (\cdot )\colon A\otimes _{K}A\to A}$, ${\displaystyle (a\otimes b)\mapsto a\cdot b}$
• ${\displaystyle \epsilon \in \{0,1\}}$

그렇다면, ${\displaystyle (A,\cdot )}$의 ${\displaystyle \epsilon }$-미분은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle d_{0}\colon A_{0}\to A_{1}}$
• ${\displaystyle d_{1}\colon A_{1}\to A_{0}}$

편의상 ${\displaystyle d=d_{0}\oplus d_{1}\colon A\to A}$로 표기하자. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle d(a\cdot b)=da\cdot b+a\cdot db\qquad \forall a\in A_{0},\;b\in A}$

${\displaystyle d(a\cdot b)=da\cdot b+\epsilon a\cdot db\qquad \forall a\in A_{1},\;b\in A}$

이는

${\displaystyle \deg a={\begin{cases}0&a\in A_{0}\\1&a\in A_{1}\end{cases}}\in \{0,1\}}$

을 정의하면

${\displaystyle d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-)^{\epsilon \deg a}a\cdot db}$

로 표기될 수 있다.

${\displaystyle (A,\cdot )}$ 위의 ${\displaystyle \epsilon }$-미분들의 집합을 ${\displaystyle {\mathfrak {der}}_{\epsilon }(A)}$로 표기하자. 그렇다면,

${\displaystyle {\mathfrak {der}}(a)={\mathfrak {der}}_{0}(A)\oplus {\mathfrak {der}}_{1}(A)}$

위에 리 초괄호

${\displaystyle [d,d'\}=d\circ d'-(-)^{\epsilon \epsilon '}d'\circ d\qquad (d\in {\mathfrak {der}}_{\epsilon }(A),\;d'\in {\mathfrak {der}}_{\epsilon '}(A))}$

을 정의하면, 이는 ${\displaystyle K}$-리 초대수를 이룬다. 이를 ${\displaystyle (A,\cdot )}$의 미분 리 초대수(영어: derivation Lie superalgebra)라고 한다.

물론, 만약 ${\displaystyle A_{1}=0}$일 때, 모든 등급을 잊을 수 있으며, 이 경우 ${\displaystyle (A_{0},\cdot )}$의 미분 리 대수(영어: derivation Lie algebra) ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A_{0})}$를 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle K}$-리 대수이다. 리 대수 이론에서, 리 대수 미분(영어: derivation of a Lie algebra)은 리 대수 위의, 곱 규칙을 따르는 자기 선형 변환이다. 일종의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

특히, 이 정의는 ${\displaystyle (A,\cdot )}$가 리 대수 또는 리 초대수일 때 적용될 수 있다.

성질

내부 미분

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 임의의 원소 ${\displaystyle x}$에 대하여, 딸림표현

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y]}$

은 (야코비 항등식에 의하여) 미분을 이룬다. 즉, 이는 리 대수 준동형

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}$

을 정의한다. 그 상 ${\displaystyle {\mathfrak {inn}}({\mathfrak {g}})\subseteq {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}$은 일반적으로 리 대수 아이디얼이 아니지만, 그 상에 대한 ${\displaystyle K}$-몫가군은 다음과 같은, 딸림표현 계수 1차 리 대수 코호몰로지로 주어진다.

${\displaystyle {\frac {{\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}{{\mathfrak {inn}}({\mathfrak {g}})}}=\operatorname {H} ^{1}({\mathfrak {g}};{\mathfrak {g}})}$

표수 0의 체 ${\displaystyle K}$ 위의 반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위의 모든 미분은 내부 미분이며, 이 경우 중심 또한 자명하므로, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}$

반면, 표수 0의 체 위에서도, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}$를 만족시키는 가해 리 대수 및 가해 리 대수도, 반단순 리 대수도 아닌 리 대수가 존재한다.^{[4]:961, §1}

리 대수 자기 동형

표수 0의 체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위의 미분 ${\displaystyle d\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$가 멱영원이라고 하자. 즉,

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} \colon d^{n}=0\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \exp(d)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}d^{n}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

이는 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 리 대수 자기 동형 사상을 이룬다. 즉,

${\displaystyle [\exp(d)(x),\exp(d)(y)]=\exp(d)([x,y])}$

가 성립한다.

같이 보기

• 켈러 미분