부분정규 부분군

군론에서 부분정규 부분군(部分正規部分群, 영어: subnormal subgroup)은 정규 부분군을 거듭하여 취하여 얻을 수 있는 부분군이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$에 대하여,

${\displaystyle H=H_{0}\vartriangleleft H_{1}\vartriangleleft H_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{n}=G}$

인 ${\displaystyle G}$의 부분군의 열 ${\displaystyle (H_{0},H_{1},\dots ,H_{n})}$이 존재한다면, ${\displaystyle H}$를 ${\displaystyle G}$의 부분정규 부분군이라고 한다. 이는

${\displaystyle H\vartriangleleft \vartriangleleft G}$

로 표기한다.

성질

부분정규 부분군 관계는 자명하게 추이적이다. (반면, 정규 부분군의 정규 부분군은 정규 부분군이 아닐 수 있다.) 유한 개의 부분정규 부분군의 교집합은 부분정규 부분군이다. 군 ${\displaystyle G}$의 부분정규 부분군들의 (포함 관계에 따른) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건을 만족시킨다면 (예컨대 유한군이나 뇌터 군은 이를 만족한다), ${\displaystyle G}$의 유한 개의 부분정규 부분군 ${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{n}\vartriangleleft \vartriangleleft G}$을 포함하는 최소의 부분군 ${\displaystyle \langle H_{1}\cup \cdots \cup H_{n}\rangle \vartriangleleft \vartriangleleft G}$은 부분정규 부분군이다.^[1]

유한군 ${\displaystyle G}$ 및 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle G}$의 부분정규 부분군이다.
• (케겔-빌란트 추측, 영어: Kegel–Wielandt conjecture) 임의의 소수 ${\displaystyle p}$ 및 ${\displaystyle G}$의 쉴로브 ${\displaystyle p}$-부분군 ${\displaystyle S}$에 대하여, ${\displaystyle H\cap S}$는 ${\displaystyle H}$의 쉴로브 ${\displaystyle p}$-부분군이다.^[2][3]
• 임의의 부분군 ${\displaystyle K\leq G}$에 대하여, 집합 ${\displaystyle HK=\{hk\colon h\in H,\;k\in K\}}$의 크기는 ${\displaystyle G}$의 크기를 나눈다.^[3]

역사

케겔-빌란트 추측은 1991년 피터 브라운 클라이드먼(영어: Peter Brown Kleidman)이 증명하였다.^[2] 클라이드먼의 증명은 유한 단순군의 분류와 부분군 구조를 사용한다.

같이 보기

• 특성 부분군