뇌터 군

군론에서, 뇌터 군(영어: Noetherian group)은 부분군들이 오름 사슬 조건을 만족시키는 군이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군을 뇌터 군이라고 한다.

• ${\displaystyle G}$의 부분군 격자 ${\displaystyle \operatorname {Sub} (G)}$는 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
• ${\displaystyle G}$의 모든 부분군은 유한 생성 군이다.

성질

연산에 대한 닫힘

뇌터 군의 부분군·몫군은 뇌터 군이다. 뇌터 군의 뇌터 군에 의한 확대는 뇌터 군이다.

뇌터 가해군

군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군을 다순환군(영어: polycyclic group)이라고 한다.^[1]:165

• 가해군이며, 뇌터 군이다.
• 모든 ${\displaystyle i=0,\dots ,n-1}$에 대하여 ${\displaystyle G_{i}\vartriangleleft G_{i+1}}$이며 ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$가 순환군인, 부분군의 열 ${\displaystyle 1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{n}=G}$가 존재한다.

멱영군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]:145

• 뇌터 군이다.
• 유한 생성 군이다.

예

모든 유한군은 뇌터 군이다. 모든 유한 생성 멱영군은 뇌터 군이다.^[1]:145

다순환군의 유한군에 의한 확대는 뇌터 군이다. 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 지표가 유한한 다순환 정규 부분군을 갖지 않는 뇌터 군이 존재한다. 그러나 이러한 반례의 구성은 매우 복잡하다.

역사

에미 뇌터의 이름을 땄다. 다순환군의 유한군에 의한 확대가 아닌 뇌터 군은 알렉산드르 유리예비치 올샨스키(러시아어: Александр Юрьевич Ольшанский)가 1979년 논문에서 처음 구성하였다.^[2][3]