체적 적분

수학 (특히 다변수 미적분학)에서 체적 적분(volume integral, ∭) 또는 부피 적분은 3차원 영역에 대한 적분이다. 즉, 중적분의 특수한 경우이다. 체적 적분은 물리학에서 많은 응용 분야에 특히 중요하며, 예를 들어 선속 밀도를 계산하거나 해당 밀도 함수에서 질량을 계산하는 데 사용된다.

좌표계에서

종종 체적 적분은 미분 부피 요소 ${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz}$로 표현된다. $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dV.}$$ 이것은 또한 함수 ${\displaystyle f(x,y,z),}$의 영역 ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ 내에서의 중적분을 의미할 수 있으며, 일반적으로 다음과 같이 쓰여진다. $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$$ 원통 좌표계에서의 체적 적분은 다음과 같다. $${\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,}$$ 그리고 구면좌표계에서의 체적 적분은 (ISO 각도 표기법을 사용하여 ${\displaystyle \varphi }$는 방위각, ${\displaystyle \theta }$는 극축에서 측정된 각도임 (자세한 내용은 규약 참조)) 다음과 같은 형태를 갖는다. $${\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$$ 삼중 적분은 야코비 행렬을 사용하여 데카르트 좌표계에서 임의의 다른 좌표계로 변환할 수 있다. 좌표 변환 ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (u,v,w)}$이 있다고 가정하면, 적분을 다음과 같이 표현할 수 있다. $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{D}f(u,v,w)\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\,du\,dv\,dw}$$ 여기서 야코비 행렬식은 다음과 같이 정의된다. $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\\\end{vmatrix}}}$$

예시

단위 정육면체에 대해 방정식 ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$을 적분하면 다음 결과가 나온다. $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}$$

따라서 단위 정육면체의 부피는 예상대로 1이다. 이는 다소 사소한 예시이지만, 체적 적분은 훨씬 더 강력하다. 예를 들어, 단위 정육면체에 스칼라 밀도 함수가 있다면 체적 적분은 정육면체의 총 질량을 제공할 것이다. 예를 들어 밀도 함수가 다음과 같을 때: $${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}$$ 정육면체의 총 질량은 다음과 같다. $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}$$

같이 보기

• 발산 정리
• 면적분
• 부피 요소
• 선 요소
• 선적분

외부 링크

• “Multiple integral” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Volume integral” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.