야코비 행렬

벡터 미적분학에서 야코비 행렬(영어: Jacobian matrix)은 다변수 벡터 함수의 도함수 행렬이다. 야코비 행렬식(영어: Jacobian determinant)은 야코비 행렬의 행렬식을 뜻한다.

정의

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$에 정의된 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$가 점 ${\displaystyle \mathbf {a} \in U}$에서 미분 가능하다고 하자. 이 경우 ${\displaystyle \mathbf {f} }$의 ${\displaystyle \mathbf {a} }$에서의 야코비 행렬 ${\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )}$은 다음과 같다.

${\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )={\begin{pmatrix}(\partial f_{1}/\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f_{1}/\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f_{1}/\partial x_{n})(\mathbf {a} )\\(\partial f_{2}/\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f_{2}/\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f_{2}/\partial x_{n})(\mathbf {a} )\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(\partial f_{m}/\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f_{m}/\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f_{m}/\partial x_{n})(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\nabla f_{1}(\mathbf {a} )\\\nabla f_{2}(\mathbf {a} )\\\vdots \\\nabla f_{m}(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(\partial \mathbf {f} /\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial \mathbf {f} /\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial \mathbf {f} /\partial x_{n})(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {R} )}$

즉, 각 ${\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )_{ij}=(\partial f_{i}/\partial x_{j})(\mathbf {a} )}$는 ${\displaystyle \mathbf {f} }$의 ${\displaystyle i}$번째 성분의 ${\displaystyle j}$번째 변수에 대한 편도함수이다.

만약 ${\displaystyle n=m}$일 경우, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로, 그 행렬식 ${\displaystyle \det J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )}$을 취할 수 있다. 이를 ${\displaystyle \mathbf {f} }$의 ${\displaystyle \mathbf {a} }$에서의 야코비 행렬식이라고 한다.

특히, 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$에 정의된 미분 가능 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$의 야코비 행렬 ${\displaystyle J(\mathbf {f} )}$은 다음과 같다.

${\displaystyle J(\mathbf {f} )\colon U\to \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle J(\mathbf {f} )\colon \mathbf {x} \mapsto J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U}$

야코비 행렬의 표기에는 다음과 같은 표기들이 쓰인다.

• ${\displaystyle J(\mathbf {f} )}$
• ${\displaystyle \mathbf {f} '}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }$
• ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dotsc ,f_{m})}{\partial (x_{1},\dotsc ,x_{n})}}}$

마지막 표기는 일부 문헌에서 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용된다.

성질

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$에 정의된 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$가 점 ${\displaystyle \mathbf {a} \in U}$에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {a} +\Delta x)-\mathbf {f} (\mathbf {a} )=J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )\Delta \mathbf {x} +\mathbf {o} (\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert )\qquad (\Delta \mathbf {x} \to \mathbf {0} )}$

즉, ${\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )}$는 ${\displaystyle \mathbf {f} }$의 ${\displaystyle \mathbf {a} }$에서의 프레셰 도함수이다.

예

다음과 같은 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$를 생각하자.

${\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(xy,\sin xy)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }$

모든 편도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}=y,\;{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=x,\;{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=y\cos xy,\;{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}=x\cos xy\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }$

따라서, ${\displaystyle \mathbf {f} }$의 야코비 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}y&x\\y\cos xy&x\cos xy\end{pmatrix}}\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }$

또한, ${\displaystyle \mathbf {f} }$의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

${\displaystyle \det J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )=0\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }$

같이 보기

• 헤세 행렬
• 설계 행렬

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Jacobian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.