브라운 표현 정리

호모토피 이론에서 브라운 표현 정리(Brown表現定理, 영어: Brown representability theorem)는 위상 공간의 호모토피 범주 위의 함자가 표현 가능 함자인지 여부에 대한 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

정의

점을 가진 연결 CW 복합체와 호모토피류의 범주 ${\displaystyle \operatorname {hCW_{\bullet }^{con}} }$를 생각하자. 이 범주는 모든 연결 공간의 약한 호모토피 동치에 대한 호모토피 범주와 동치이다.

이 범주에서 점을 가진 집합의 범주로 가는 함자

${\displaystyle F\colon \operatorname {hCW_{\bullet }^{con}} \to \operatorname {Set_{\bullet }^{op}} }$

가 주어졌다고 하자. 브라운 표현 정리에 따르면, ${\displaystyle F}$가 표현 가능 함자일 필요충분조건은 ${\displaystyle F}$가 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.

• ${\displaystyle F}$는 쌍대곱을 보존한다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {hCW_{\bullet }^{con}} }$의 쌍대곱(쐐기합)을 ${\displaystyle \operatorname {Set_{\bullet }^{op}} }$의 쌍대곱 (${\displaystyle \operatorname {Set_{\bullet }} }$의 곱, 즉 곱집합)으로 대응시킨다.
• ${\displaystyle F}$는 ${\displaystyle \operatorname {hCW_{\bullet }^{con}} }$의 약한 밂(영어: weak pushout, 즉 호모토피 밂)을 ${\displaystyle \operatorname {Set_{\bullet }^{op}} }$의 약한 밂(${\displaystyle \operatorname {Set} _{\bullet }}$의 약한 당김)으로 대응시킨다.

브라운 표현 정리는 연결 공간 또는 점을 가진 공간 조건을 생략한다면 더 이상 성립하지 않는다.^[1]

예

브라운 표현 정리에 따라, 각 아벨 군 ${\displaystyle G\in \operatorname {Ab} }$ 및 차수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여 특이 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(-;G)}$는 표현 가능 함자를 이룬다. 이를 표현하는 CW 복합체는 에일렌베르크-매클레인 공간 ${\displaystyle K(G,n)}$이다.

역사

에드거 헨리 브라운 2세(영어: Edgar Henry Brown, Jr.)가 1962년에 증명하였다.^[2]